Commentaire sur l'article

• Mai 2016, 2e défi

  le 13 mai 2016 à 09:51, par mesmaker

  Je trouve les triplets (p, q, r) = (13, 3, 13), (11, 5, 11) et (2, 2, 29)

  Ma preuve est assez fastidieuse et je n’en suis même pas totalement sûr.
  Il semble que l’on puisse assez facilement prouver que p=q ou p=r.
  De là, il faut traiter les deux cas.
  Le cas p=r me fournit seulement (sûr à 80%) (13, 3, 13), (11, 5, 11)
  Le cas p=q me fournit seulement (sûr à 60%) (2, 2, 29)

  Y en a t’il d’autres ? et existe t’il une méthode simple et élégante pour le prouver ?

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• Mai 2016, 2e défi

  le 13 mai 2016 à 10:50, par Daniate

  Fastidieuse certainement, rigoureuse, mais élégante surement pas. L’expression se décline en p(15+7q)=(p-1)qr donc p divise (p-1)qr. La primalité de p,q,r implique que soit p=q, soit p=r puisqu’il ne divise pas p-1.

  Si p=q alors l’égalité devient 15+7p=(p-1)r d’où r=(15+7p)/(p-1)=7+22/(p-1). r étant un entier p-1 divise 22 : soit p-1=1 alors (2,2,29) soit p-1=2 ou 11 ou 22 mais alors r n’est pas premier.

  Si p=q alors l’égalité devient 15+7q=(p-1)q d’où p=8+15/q. q est donc un diviseur de 15 : 1,3,5 ou 15 . 1 et 15 donne p non premier, 3 donne (13,3,13) et 5 donne (11,5,11).

  Il n’y a pas d’autres solutions à moins que mon raisonnement soit erroné.

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• Mai 2016, 2e défi

  le 13 mai 2016 à 11:17, par mesmaker

  Merci de confirmer ma démonstration et même de l’améliorer.

  Dans le cas p=q, j’avais vu que r=(15+7p)/(p-1) décroissait vers 0 et donc que
  les r étaient plus petits que 29. Donc j’avais testé tous les nombres premiers
  plus petit que 29 pour voir si l’un deux étaient solutions de cette équation.
  Fastidieux. Pour le reste c’était la même idée.

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• Mai 2016, 2e défi

  le 13 mai 2016 à 20:40, par Philippe N

  Je trouve 5 triplets solutions.

  Comme déjà écrit plus haut, nécessairement p=q ou p=r.

  1/Cas p=r
  En simplifiant par p, on trouve que q divise 15, donc q est égal à 3 ou 5.
  On obtient comme seules solutions les deux triplets (13,3,13) et (11,5,11).

  2/ Cas p=q.
  On obtient alors 15 +7q = r (q-1).
  Donc q-1 divise 15 +7q = 22 + 7(q-1), ce qui n’est possible que si q-1 divise 22, donc pour q=2, q=3 ou q=12.
  D’où comme seules solutions pour ce cas : (2, 2, 29), (3, 3, 18) et (12,12, 9).

  CQFD :-)

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• Mai 2016, 2e défi

  le 19 mai 2016 à 18:12, par ROUX

  Je me trompe très souvent ici...
  Je vous le chuchote : « ... premiers... p, q et r sont premiers... » ;)

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• Mai 2016, 2e défi

  le 17 mai 2016 à 16:14, par Numéro 6

  On arrive effectivement à p=q ou p=r avec un critère de divisibilité.
  Ensuite, si p=q, on obtient 15p + 7p²+pr=p²r et comme on peut diviser par p, cela donne pr-7p-r=15
  On considère alors le membre de gauche comme le début d’un développement, et on trouve
  (p-1)(r-7)=22
  Le reste vient tout seul.

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