Un défi par semaine

Mai 2016, 4e défi

Le 27 mai 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 22 :

Irène, Marie et Norah ont fait la course $20$ fois. Elles ont noté, à chaque fois, leur ordre d’arrivée. Il n’y a jamais eu d’ex æquo et elles sont arrivées dans tous les ordres possibles. Irène est arrivée devant Marie $12$ fois, Marie devant Norah $11$ fois et Norah devant Irène $14$ fois. Combien de courses chacune d’elles a-t-elle gagnées ?

Solution du 3e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $28$ triangles.

On observe que

  • trois cordes forment un triangle si elles se coupent deux à deux à l’intérieur du cercle ;
  • deux cordes $[A_1 A_2]$ et $[B_1 B_2]$ se coupent à l’intérieur du cercle si leurs extrémités sont dans un ordre alterné (c’est-à-dire si les quatre points sont distincts et que l’on voit $ABAB$ en parcourant le cercle, et non pas $AABB$).
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Par conséquent, si les points $A, B, C, D, E$ et $F$ apparaissent dans cet ordre sur le cercle, seules les cordes $AD$, $BE$ et $CF$ se coupent deux à deux à l’intérieur.

Ainsi nous voyons que tout ensemble de $6$ points sur le cercle détermine un unique triangle, et il y a donc $\binom{8}{6}=28$ tels triangles.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Mai 2016, 4e défi

    le 27 mai à 16:42, par LFLE

    Bonjour,

    — Norah a gagné 8 courses
    — Marie 7 courses
    — Irène 5 courses

    Il faut pour cela considérer les 6 possibilités de résultat pour une course (IMN, INM, MIN, MNI, NIM, NMI, la première représentant la gagnante, etc.)
    Cela nous donne 4 équations :
    (1) IMN + INM + NIM = 12
    (2) IMN + MIN + MNI = 11
    (3) MNI + NIM + NMI = 14
    (4) IMN + INM + MIN + MNI + NIM + NMI = 20

    Si l’on fait (1) + (2) + (3) - (4), on obtient :
    (5) IMN + NIM + MNI = 17

    Et (4) - (5) nous donne :
    (6) INM + MIN + NMI = 3

    Or comme tous les ordres de résultats possible se sont produits (d’après l’énoncé), on déduit de (6) que :
    INM = MIN = NMI = 1

    De là, en remplaçant leur valeurs dans les équations (1), (2) et (3), on obtient un système linéaire à trois équations et trois inconnus et on en déduit que :
    NIM = 7
    MNI = 6
    IMN = 4

    D’où
    — les victoires de Norah sont NIM + NMI = 8
    — les victoires de Marie sont MNI + MIN = 7
    — les victoires d’Irènes sont IMN + INM = 5

    Voilà, je ne sais pas si il s’agissait de la façon la plus simple de résoudre ce problème.

    Répondre à ce message
  • Mai 2016, 4e défi

    le 27 mai à 19:06, par Al_louarn

    Notons $XY$ le nombre de fois où $X$ arrive avant $Y$, et $XYZ$ le nombre de fois où $X,Y,Z$ arrivent dans cet ordre.
    Les variables $X,Y,Z$ désigneront toujours des personnes distinctes.

    Si cette fois j’ai bien compris l’énoncé, les inconnues du problème sont :
    $i = IMN + INM$
    $m = MIN + MNI$
    $n = NIM + NMI$

    Les données du problème sont :
    $i + m + n = 20$
    $IM = 12$
    $NI = 14$
    $MN = 11$
    $XYZ \geq 1$ dans tous les cas car elles sont arrivées dans tous les ordres possibles.

    Il est clair qu’on a toujours $XY + YX = 20$, donc :
    $MI = 8$
    $IN = 6$
    $NM = 9$

    D’autre part en utilisant la décomposition $XY = ZXY + XZY + XYZ$, et la définition des inconnues, on obtient :
    $MI = NMI + MNI + MIN = NMI + m$
    $IN = MIN + IMN + INM = MIN + i$
    $NM = INM + NIM + NMI = INM + n$

    Donc :
    $NMI + m = 8$
    $MIN + i = 6$
    $INM + n = 9$

    En additionnant on obtient :
    $NMI + MIN + INM + m + i + n = 8 + 6 + 9$
    $NMI + MIN + INM + 20 = 23$
    $NMI + MIN + INM = 3$

    Comme $XYZ \geq 1$, la seule possibilité est :
    $NMI = MIN = INM = 1$

    D’où :
    $1 + m = 8$
    $1 + i = 6$
    $1 + n = 9$

    Et finalement :
    Marie a gagné $7$ courses.
    Irène a gagné $5$ courses.
    Norah a gagné $8$ courses.

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    • Mai 2016, 4e défi

      le 28 mai à 15:20, par ROUX

      Joli.
      Je me suis demandé pourquoi vous étiez passé par MI, IN et MN qui valent respectivement 8, 6 et 9 et pourquoi vous n’étiez pas resté avec IM, NI et MN.
      Donc, je l’ai fait.
      Et je tombe sur NIM + MNI + IMN = 17 qui est parfaitement inutilisable...
      Est-ce ce qui vous est arrivé ?

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      • Mai 2016, 4e défi

        le 28 mai à 22:46, par Al_louarn

        Eh bien non je n’ai même pas essayé ça. J’ai pris directement les complémentaires à $20$ pour avoir des nombres plus petits et donc réduire le nombre de possibilités. Par exemple, de $6=IN=MIN+IMN+INM=MIN+i$ on tire immédiatement que $1 \leq MIN \leq 4$, et donc $2 \leq i \leq 5$. C’était déjà un début. Mais c’est quand j’ai vu par hasard que $6+8+9=20+3$ que j’ai compris que je tenais une bonne piste...

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  • Mai 2016, 4e défi

    le 31 mai à 23:35, par Lysistrata

    On trouve 5 fois M à la première place, 5 fois I et 10 fois N. Les 20 courses sont : 1 MIN, 4 MNI, 4 IMN, 1INM, 3NMI et 7 NIM.

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