Commentaire sur l'article

• Mai 2016, 4e défi

  le 27 mai 2016 à 16:42, par LFLE

  Bonjour,

  — Norah a gagné 8 courses
  — Marie 7 courses
  — Irène 5 courses

  Il faut pour cela considérer les 6 possibilités de résultat pour une course (IMN, INM, MIN, MNI, NIM, NMI, la première représentant la gagnante, etc.)
  Cela nous donne 4 équations :
  (1) IMN + INM + NIM = 12
  (2) IMN + MIN + MNI = 11
  (3) MNI + NIM + NMI = 14
  (4) IMN + INM + MIN + MNI + NIM + NMI = 20

  Si l’on fait (1) + (2) + (3) - (4), on obtient :
  (5) IMN + NIM + MNI = 17

  Et (4) - (5) nous donne :
  (6) INM + MIN + NMI = 3

  Or comme tous les ordres de résultats possible se sont produits (d’après l’énoncé), on déduit de (6) que :
  INM = MIN = NMI = 1

  De là, en remplaçant leur valeurs dans les équations (1), (2) et (3), on obtient un système linéaire à trois équations et trois inconnus et on en déduit que :
  NIM = 7
  MNI = 6
  IMN = 4

  D’où
  — les victoires de Norah sont NIM + NMI = 8
  — les victoires de Marie sont MNI + MIN = 7
  — les victoires d’Irènes sont IMN + INM = 5

  Voilà, je ne sais pas si il s’agissait de la façon la plus simple de résoudre ce problème.

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• Mai 2016, 4e défi

  le 27 mai 2016 à 19:06, par Al_louarn

  Notons $XY$ le nombre de fois où $X$ arrive avant $Y$, et $XYZ$ le nombre de fois où $X,Y,Z$ arrivent dans cet ordre.
  Les variables $X,Y,Z$ désigneront toujours des personnes distinctes.

  Si cette fois j’ai bien compris l’énoncé, les inconnues du problème sont :
  $i = IMN + INM$
  $m = MIN + MNI$
  $n = NIM + NMI$

  Les données du problème sont :
  $i + m + n = 20$
  $IM = 12$
  $NI = 14$
  $MN = 11$
  $XYZ \geq 1$ dans tous les cas car elles sont arrivées dans tous les ordres possibles.

  Il est clair qu’on a toujours $XY + YX = 20$, donc :
  $MI = 8$
  $IN = 6$
  $NM = 9$

  D’autre part en utilisant la décomposition $XY = ZXY + XZY + XYZ$, et la définition des inconnues, on obtient :
  $MI = NMI + MNI + MIN = NMI + m$
  $IN = MIN + IMN + INM = MIN + i$
  $NM = INM + NIM + NMI = INM + n$

  Donc :
  $NMI + m = 8$
  $MIN + i = 6$
  $INM + n = 9$

  En additionnant on obtient :
  $NMI + MIN + INM + m + i + n = 8 + 6 + 9$
  $NMI + MIN + INM + 20 = 23$
  $NMI + MIN + INM = 3$

  Comme $XYZ \geq 1$, la seule possibilité est :
  $NMI = MIN = INM = 1$

  D’où :
  $1 + m = 8$
  $1 + i = 6$
  $1 + n = 9$

  Et finalement :
  Marie a gagné $7$ courses.
  Irène a gagné $5$ courses.
  Norah a gagné $8$ courses.

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• Mai 2016, 4e défi

  le 28 mai 2016 à 15:20, par ROUX

  Joli.
  Je me suis demandé pourquoi vous étiez passé par MI, IN et MN qui valent respectivement 8, 6 et 9 et pourquoi vous n’étiez pas resté avec IM, NI et MN.
  Donc, je l’ai fait.
  Et je tombe sur NIM + MNI + IMN = 17 qui est parfaitement inutilisable...
  Est-ce ce qui vous est arrivé ?

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• Mai 2016, 4e défi

  le 28 mai 2016 à 22:46, par Al_louarn

  Eh bien non je n’ai même pas essayé ça. J’ai pris directement les complémentaires à $20$ pour avoir des nombres plus petits et donc réduire le nombre de possibilités. Par exemple, de $6=IN=MIN+IMN+INM=MIN+i$ on tire immédiatement que $1 \leq MIN \leq 4$, et donc $2 \leq i \leq 5$. C’était déjà un début. Mais c’est quand j’ai vu par hasard que $6+8+9=20+3$ que j’ai compris que je tenais une bonne piste...

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• Mai 2016, 4e défi

  le 31 mai 2016 à 23:35, par Lysistrata

  On trouve 5 fois M à la première place, 5 fois I et 10 fois N. Les 20 courses sont : 1 MIN, 4 MNI, 4 IMN, 1INM, 3NMI et 7 NIM.

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