Un défi par semaine

Mai 2017, 1er défi

Le 5 mai 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 18 :

Zoé écrit un nombre à deux chiffres, puis Ysabel écrit la somme des carrés des chiffres du nombre de Zoé, et enfin Xavier écrit la somme des carrés des chiffres du nombre d’Ysabel. Quel est le nombre maximal que peut obtenir Xavier ?

Solution du 4e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $5$ nombres.

On cherche les nombres entiers positifs à $2$ chiffres $ab$ vérifiant $ ab + 36 = ba$, avec $a$ et $b$ des chiffres. Ceci est équivalent à :

$10 a + b + 36 = 10 b + a$

$9 a - 9 b = -36$

$9 (b - a) = 36$

$b - a = 4.$

Par conséquent, on cherche les couples de chiffres dont la différence est égale à $4$. Il existe $5$ tels couples $(a,b)$ de chiffres : $(5,9)$, $(4,8)$, $(3,7)$, $(2,6)$ et $(1,5)$. Par conséquent, les $5$ nombres qui satisfont au problème sont donc $59$, $48$, $37$, $26$ et $15$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - TAWACH / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mai 2017, 1er défi

    le 5 mai à 08:35, par Bernard Hanquez

    Bonjour,

    Quelques formules dans un tableau Excel montrent que le nombre maximum que peut obtenir Xavier est 145. Ceci se produit lorsque Zoé choisit 58, 85 ou 77.

    Il doit bien exister une solution plus élégante, mais je n’ai pas les compétences pour la trouver.

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    • Mai 2017, 1er défi

      le 5 mai à 14:49, par Niak

      Pas mieux...

      Histoire de s’amuser, on peut remarquer que si l’on itère la somme des chiffres au carré depuis n’importe quel nombre strictement positif, on aboutit toujours ultimement à la valeur $1$ ou au cycle $(4,16,37,58,89,145,42,20)$ (vérifié par le calcul pour ce défi sur les nombres d’au plus deux chiffres ; quant aux nombres d’au moins trois chiffres, une comparaison avec leur écriture décimale montre qu’ils sont toujours envoyés sur une valeur strictement inférieure).

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      • Mai 2017, 1er défi

        le 15 juin à 17:34, par Emmanuel Jacob

        Cela appelle à une généralisation naturelle où l’on ajoute des intermédiaires. Dans l’énoncé initial, il n’y en a que $2$. Que se passe-t-il si il y en a $n$ ?

        • Si $n$ n’est pas un multiple de $8$, la réponse est la même que pour $n=2$ d’après le cycle que tu proposes.
        • Pour $n$ multiple de $8$ également, par exemple en partant de $45$ ou $54$.

        Par ailleurs, le nombre de départ qui me semble mettre le plus de temps à rejoindre ton cycle semble partir de $6$ ou $60$ (on arrive à $145$ pour $n=10$)
        (Je peux me tromper, je n’ai pas vérifié intégralement)

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        • Mai 2017, 1er défi

          le 15 juin à 18:48, par Niak

          Les plus éloignés (parmi les nombres $<100$) sont en effet $6$ et $60$, ils atteignent en fait $89$ en $9$ pas (et a fortiori $145$ un pas plus tard).

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          • Mai 2017, 1er défi

            le 15 juin à 19:54, par Bernard Hanquez

            Parmi les nombres inférieurs à 100, il y a 88 qui nécessite un pas de plus pour arriver à 145.

            En fait il faudrait déterminer, pour chaque nombre de départ, la première apparition de l’un des nombres du cycle 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20

            Je vais m’y atteler, quelque lignes dans une macro Excel devraient le permettre.

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            • Mai 2017, 1er défi

              le 15 juin à 20:08, par Niak

              $88$ atteint $16$ en $7$ pas. Comme je le disais, les plus éloignés du cycle, peu importe le point d’entrée, sont $6$ et $60$ (distance $9$). Et les plus éloignés de l’autre « cycle » ($1$ tout seul) sont $7$ et $70$, qui l’atteignent en $5$ pas.

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  • Mai 2017, 1er défi

    le 5 mai à 10:50, par ROUX

    Xavier doit avoir pu prendre les carrés des entiers les plus grands possible, c’est à dire que Ysabel a pu écrire un nombre dont les entiers sont les plus grands possibles (Eh bah non, à la relecture... Mais, aujourd’hui, j’avais décidé de commenter avec le live de ma réflexion), ce qui ne signifie pas que le nombre d’Ysabel est le plus grand possible.

    Par exemple, imaginons que Zoé a écrit 99. La somme des carrés des chiffres est 81+81=162 dont la somme des carrés des chiffres est 1+36+4=41. Imaginons maintenant que Zoé a écrit 89. La somme des carrés des chiffres est 64+81=145 dont la somme des carrés des chiffres est 1+16+25=42…

    D’ailleurs, une sommes des carrés du nombre de Zoé qui va jusqu’à plus d’une centaine n’est peut-être pas pertinente car, avec ce « 1 », on ne gagne que 1 et on réduit en revanche les deux autres chiffres (rapidement regardé).

    Xavier peut-il viser 162 = 81+81 ce qui signifierait que la somme d’une des paire de carrés des entiers compris entre 1 et 9 pourrait faire 99 ? Rapidement, non.

    Xavier peut-il alors viser 145 = 81+64 ce qui signifierait que la somme d’une des paire de carrés des entiers compris entre 1 et 9 pourrait faire 98 ou 89 ? Pour 89, j’ai : 89 = 25 + 64. Alors, oui, il peut viser.

    Zoé écrit 58 ou 85, la somme des carrés de leurs chiffres est égale à 25+64=89, le nombre d’Ysabel, ce qui donne pour Xavier le nombre 145 = 64 + 81.

    145.

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    • Mai 2017, 1er défi

      le 13 mai à 16:32, par drai.david

      Généralisation :
      Si à partir d’un nombre à n chiffres, on calcule n fois la somme des puissances nième de ses chiffres, on trouve :
      Pour n=2 : 145
      Pour n=3 : 1 801 (en partant par exemple de 607)
      Pour n=4 : 21 314 (en partant par exemple de 4 889)
      ...
      Pour n=10 : 17 718 495 431 (en partant par exemple de 3 346 889 999)
      Pour n=11 : 176 062 673 167 (en partant par exemple de 10 000 001 557)

      Vous pouvez vous amuser à chercher les valeurs pour n compris entre 5 et 9...

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