Un défi par semaine

Mai 2017, 1er défi

Le 5 mai 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 18 :

Zoé écrit un nombre à deux chiffres, puis Ysabel écrit la somme des carrés des chiffres du nombre de Zoé, et enfin Xavier écrit la somme des carrés des chiffres du nombre d’Ysabel. Quel est le nombre maximal que peut obtenir Xavier ?

Solution du 4e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $5$ nombres.

On cherche les nombres entiers positifs à $2$ chiffres $ab$ vérifiant $ ab + 36 = ba$, avec $a$ et $b$ des chiffres. Ceci est équivalent à :

$10 a + b + 36 = 10 b + a$

$9 a - 9 b = -36$

$9 (b - a) = 36$

$b - a = 4.$

Par conséquent, on cherche les couples de chiffres dont la différence est égale à $4$. Il existe $5$ tels couples $(a,b)$ de chiffres : $(5,9)$, $(4,8)$, $(3,7)$, $(2,6)$ et $(1,5)$. Par conséquent, les $5$ nombres qui satisfont au problème sont donc $59$, $48$, $37$, $26$ et $15$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - TAWACH / SHUTTERSTOCK

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  • Mai 2017, 1er défi

    le 5 mai 2017 à 10:50, par ROUX

    Xavier doit avoir pu prendre les carrés des entiers les plus grands possible, c’est à dire que Ysabel a pu écrire un nombre dont les entiers sont les plus grands possibles (Eh bah non, à la relecture... Mais, aujourd’hui, j’avais décidé de commenter avec le live de ma réflexion), ce qui ne signifie pas que le nombre d’Ysabel est le plus grand possible.

    Par exemple, imaginons que Zoé a écrit 99. La somme des carrés des chiffres est 81+81=162 dont la somme des carrés des chiffres est 1+36+4=41. Imaginons maintenant que Zoé a écrit 89. La somme des carrés des chiffres est 64+81=145 dont la somme des carrés des chiffres est 1+16+25=42…

    D’ailleurs, une sommes des carrés du nombre de Zoé qui va jusqu’à plus d’une centaine n’est peut-être pas pertinente car, avec ce « 1 », on ne gagne que 1 et on réduit en revanche les deux autres chiffres (rapidement regardé).

    Xavier peut-il viser 162 = 81+81 ce qui signifierait que la somme d’une des paire de carrés des entiers compris entre 1 et 9 pourrait faire 99 ? Rapidement, non.

    Xavier peut-il alors viser 145 = 81+64 ce qui signifierait que la somme d’une des paire de carrés des entiers compris entre 1 et 9 pourrait faire 98 ou 89 ? Pour 89, j’ai : 89 = 25 + 64. Alors, oui, il peut viser.

    Zoé écrit 58 ou 85, la somme des carrés de leurs chiffres est égale à 25+64=89, le nombre d’Ysabel, ce qui donne pour Xavier le nombre 145 = 64 + 81.

    145.

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