Mai 2017, 1er défi

Le 5 mai 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 18 :

Zoé écrit un nombre à deux chiffres, puis Ysabel écrit la somme des carrés des chiffres du nombre de Zoé, et enfin Xavier écrit la somme des carrés des chiffres du nombre d’Ysabel. Quel est le nombre maximal que peut obtenir Xavier ?

Solution du 4e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $5$ nombres.

On cherche les nombres entiers positifs à $2$ chiffres $ab$ vérifiant $ ab + 36 = ba$, avec $a$ et $b$ des chiffres. Ceci est équivalent à :

$10 a + b + 36 = 10 b + a$

$9 a - 9 b = -36$

$9 (b - a) = 36$

$b - a = 4.$

Par conséquent, on cherche les couples de chiffres dont la différence est égale à $4$. Il existe $5$ tels couples $(a,b)$ de chiffres : $(5,9)$, $(4,8)$, $(3,7)$, $(2,6)$ et $(1,5)$. Par conséquent, les $5$ nombres qui satisfont au problème sont donc $59$, $48$, $37$, $26$ et $15$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Mai 2017, 1er défi

le 15 juin 2017 à 17:34, par Emmanuel Jacob
Cela appelle à une généralisation naturelle où l’on ajoute des intermédiaires. Dans l’énoncé initial, il n’y en a que $2$. Que se passe-t-il si il y en a $n$ ?
- Si $n$ n’est pas un multiple de $8$, la réponse est la même que pour $n=2$ d’après le cycle que tu proposes.
- Pour $n$ multiple de $8$ également, par exemple en partant de $45$ ou $54$.
Par ailleurs, le nombre de départ qui me semble mettre le plus de temps à rejoindre ton cycle semble partir de $6$ ou $60$ (on arrive à $145$ pour $n=10$)
(Je peux me tromper, je n’ai pas vérifié intégralement)
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