Un défi par semaine

Mai 2017, 2e défi

Le 12 mai 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Déterminer le plus petit entier positif $x$ tel que $2x$ soit un carré et $3x$ soit un cube.

Solution du 1er défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $145$.

Comme le nombre de Zoé a deux chiffres, le nombre maximal que peut obtenir Ysabel est $9^2+9^2=162$, par conséquent il a $1$, $2$ ou $3$ chiffres.

  • Si le nombre d’Ysabel n’a qu’un chiffre, alors il est au plus $9$, et le nombre de Xavier est donc au plus $9^2=81$. D’autre part, ce résultat est possible, si par exemple Zoé a choisi $30$.
  • Si le nombre d’Ysabel a deux chiffres, il est au plus $99$. Mais $99$ n’est pas la somme de deux carrés parfaits, donc le nombre d’Ysabel est en fait au plus $98=7^2+7^2$. Ce dernier peut bien être obtenu si Zoé a choisi $77$. Dans ce cas, le nombre de Xavier est $9^2+8^2= 145$, et c’est le maximum qu’il puisse obtenir à partir d’un nombre à deux chiffres.
  • Si le nombre d’Ysabel a trois chiffres, alors le premier chiffre est un $1$, et le nombre est au plus $162$. Dans ce cas, le nombre dont la somme des carrés des chiffres est maximale est $159$ pour lequel cette somme vaut $1^2+5^2+9^2=107$, qui est inférieur à $145$.

Le meilleur cas est le deuxième, et le nombre maximal que peut obtenir Xavier est donc $145$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - TAWACH / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mai 2017, 2e défi

    le 12 mai à 07:25, par ROUX

    2x=A.A ou puisque A doit alors être divisible par 2 (car A.A doit être divisible par 2 et le carré ne rajoute pas de plus petit diviseur premier, ici, 2 donc c’est que A est divisible par 2) , 2x=2.a.2.a ou x est multiple de 2.
    3x=B.B.B ou puisque B doit être divisible par 3, 3x=3.b.3.b.3.b ou x est multiple de 9.
    Donc x est multiple de 18.
    Mais quel multiple ?

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  • Mai 2017, 2e défi

    le 12 mai à 08:15, par ROUX

    x=k.18=k.2.3^2.
    Si 2x est un carré, c’est que, vue l’écriture, 2.(k.2.3^2)=k.36.
    k est donc lui-même un carré d’entier.
    Si 3.x est un cube, c’est que, vue l’écriture, 3.(k.2.3^2)=2^(3n).3^(3m) ou k=2^(3n-1).3^(3m-3).
    Puisque k est un carré, il faut que 3n-1 soit un multiple de 2 et 3m-3 aussi, tout en étant les plus petits possibles.
    Donc n=1 et m=1 conviennent.
    Ils donnent alors k=2^2.3^0 ou k=4 ou x=72.
    La suite est alors, dans l’ordre, pour les différents quadruplets (n,m,k,x) : (1,1,4,72) ; (3,1,256,4608) ;(1,3,2916,52488) ; etc.
    x=72.

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    • Mai 2017, 2e défi

      le 12 mai à 11:10, par Daniate

      En toute rigueur le plus petit entier positif étant 0, il répond parfaitement au problème posé, mais un strictement positif était certainement attendu.

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      • Mai 2017, 2e défi

        le 12 mai à 11:45, par ROUX

        Bonjour, fidèle à vous-même :-)))))) !

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        • Mai 2017, 2e défi

          le 13 mai à 11:03, par drai.david

          Bonjour, je suis nouveau sur ce forum que je suis depuis quelques mois maintenant, et je trouve que les défis du calendrier des maths se prêtent souvent bien à des généralisations intéressantes. En voici deux :
          1) Les entiers x vérifiant la propriété sont tout simplement ceux de la forme 72n6...
          2)Si on ajoute la condition « 5x est une puissance 5ème », les nombres solution sont de la forme 215320524n5.
          Et 215320524 = 6 810 125 783 203 125*1015.

          Remarque  : La condition « 4x est une puissance 4ème » est incompatible avec « 2x est un carré »...

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          • Mai 2017, 2e défi

            le 13 mai à 15:41, par ROUX

            Mais tout à fait :-).
            Le commentateur Daniate que je saluais nous en a offertes de merveilleuses (je me souviens du découpage d’un aileron de requin ( et je viens de le retrouver ) en deux parties de surfaces égales qu’il généralisa au découpage en n parties de surfaces égales et dont cette généralisation finit dans la solution proposée par l’autrice des défis).
            Certains défis se prêtent aussi à d’éblouissants contre-pieds : un défi arithmétique peut aussi être résolu avec de la géométrie, etc. ; là encore, Daniate excelle, vous verrez ;-) !
            Bienvenu-e !

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    • Mai 2017, 2e défi

      le 14 mai à 09:12, par LALANNE

      Si x est l’inconnue, a et b entiers positifs de même que c, d, e, f, g et i
      2x=a^2 et 3x=b^3 d’où a multiple de 2 et b multiple de 3, a=2c et b=3e
      x=2c^2=9e^2 d’où c multiple de 3 et e multiple de 2, c=3f et e=2g
      x=2(3f)^2 =9(2g)^3
      x=18 f^2=72 g^3
      f^2=4g^3=4 (g√g)^2 = 4 ( i^3)^2 en posant i^2=g
      Donc :
      x=72 i^6
      Les valeurs de x s’obtiennent pour i entier positif, i=1 correspondant à la plus petite donne x=72

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  • Mai 2017, 2e défi

    le 13 mai à 16:16, par drai.david

    1ère coquille : ça commence bien !!!
    Dans ma 2ème généralisation (avec 5x comme puissance 5ème) il faut lire 215320524n30 !

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