Un défi par semaine

Mai 2017, 2e défi

El 12 mayo 2017  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Déterminer le plus petit entier positif $x$ tel que $2x$ soit un carré et $3x$ soit un cube.

Solution du 1er défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $145$.

Comme le nombre de Zoé a deux chiffres, le nombre maximal que peut obtenir Ysabel est $9^2+9^2=162$, par conséquent il a $1$, $2$ ou $3$ chiffres.

  • Si le nombre d’Ysabel n’a qu’un chiffre, alors il est au plus $9$, et le nombre de Xavier est donc au plus $9^2=81$. D’autre part, ce résultat est possible, si par exemple Zoé a choisi $30$.
  • Si le nombre d’Ysabel a deux chiffres, il est au plus $99$. Mais $99$ n’est pas la somme de deux carrés parfaits, donc le nombre d’Ysabel est en fait au plus $98=7^2+7^2$. Ce dernier peut bien être obtenu si Zoé a choisi $77$. Dans ce cas, le nombre de Xavier est $9^2+8^2= 145$, et c’est le maximum qu’il puisse obtenir à partir d’un nombre à deux chiffres.
  • Si le nombre d’Ysabel a trois chiffres, alors le premier chiffre est un $1$, et le nombre est au plus $162$. Dans ce cas, le nombre dont la somme des carrés des chiffres est maximale est $159$ pour lequel cette somme vaut $1^2+5^2+9^2=107$, qui est inférieur à $145$.

Le meilleur cas est le deuxième, et le nombre maximal que peut obtenir Xavier est donc $145$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mai 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Comentario sobre el artículo

  • Mai 2017, 2e défi

    le 12 de mayo de 2017 à 07:25, par ROUX

    2x=A.A ou puisque A doit alors être divisible par 2 (car A.A doit être divisible par 2 et le carré ne rajoute pas de plus petit diviseur premier, ici, 2 donc c’est que A est divisible par 2) , 2x=2.a.2.a ou x est multiple de 2.
    3x=B.B.B ou puisque B doit être divisible par 3, 3x=3.b.3.b.3.b ou x est multiple de 9.
    Donc x est multiple de 18.
    Mais quel multiple?

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  • Mai 2017, 2e défi

    le 12 de mayo de 2017 à 08:15, par ROUX

    x=k.18=k.2.3^2.
    Si 2x est un carré, c’est que, vue l’écriture, 2.(k.2.3^2)=k.36.
    k est donc lui-même un carré d’entier.
    Si 3.x est un cube, c’est que, vue l’écriture, 3.(k.2.3^2)=2^(3n).3^(3m) ou k=2^(3n-1).3^(3m-3).
    Puisque k est un carré, il faut que 3n-1 soit un multiple de 2 et 3m-3 aussi, tout en étant les plus petits possibles.
    Donc n=1 et m=1 conviennent.
    Ils donnent alors k=2^2.3^0 ou k=4 ou x=72.
    La suite est alors, dans l’ordre, pour les différents quadruplets (n,m,k,x): (1,1,4,72); (3,1,256,4608);(1,3,2916,52488); etc.
    x=72.

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    • Mai 2017, 2e défi

      le 12 de mayo de 2017 à 11:10, par Daniate

      En toute rigueur le plus petit entier positif étant 0, il répond parfaitement au problème posé, mais un strictement positif était certainement attendu.

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      • Mai 2017, 2e défi

        le 12 de mayo de 2017 à 11:45, par ROUX

        Bonjour, fidèle à vous-même :-))))))!

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        • Mai 2017, 2e défi

          le 13 de mayo de 2017 à 11:03, par drai.david

          Bonjour, je suis nouveau sur ce forum que je suis depuis quelques mois maintenant, et je trouve que les défis du calendrier des maths se prêtent souvent bien à des généralisations intéressantes. En voici deux :
          1) Les entiers x vérifiant la propriété sont tout simplement ceux de la forme 72n6...
          2)Si on ajoute la condition «5x est une puissance 5ème», les nombres solution sont de la forme 215320524n5.
          Et 215320524 = 6 810 125 783 203 125*1015.

          Remarque : La condition «4x est une puissance 4ème» est incompatible avec «2x est un carré»...

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          • Mai 2017, 2e défi

            le 13 de mayo de 2017 à 15:41, par ROUX

            Mais tout à fait :-).
            Le commentateur Daniate que je saluais nous en a offertes de merveilleuses (je me souviens du découpage d’un aileron de requin ( et je viens de le retrouver ) en deux parties de surfaces égales qu’il généralisa au découpage en n parties de surfaces égales et dont cette généralisation finit dans la solution proposée par l’autrice des défis).
            Certains défis se prêtent aussi à d’éblouissants contre-pieds: un défi arithmétique peut aussi être résolu avec de la géométrie, etc.; là encore, Daniate excelle, vous verrez ;-)!
            Bienvenu-e!

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      • Mai 2017, 2e défi

        le 23 de noviembre de 2019 à 20:59, par ROUX

        Cher Daniate,
        allez-vous bien?
        Je ne vous cache plus mon inquiétude...
        Cordialement,

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    • Mai 2017, 2e défi

      le 14 de mayo de 2017 à 09:12, par LALANNE

      Si x est l’inconnue, a et b entiers positifs de même que c, d, e, f, g et i
      2x=a^2 et 3x=b^3 d’où a multiple de 2 et b multiple de 3, a=2c et b=3e
      x=2c^2=9e^2 d’où c multiple de 3 et e multiple de 2, c=3f et e=2g
      x=2(3f)^2 =9(2g)^3
      x=18 f^2=72 g^3
      f^2=4g^3=4 (g√g)^2 = 4 ( i^3)^2 en posant i^2=g
      Donc:
      x=72 i^6
      Les valeurs de x s’obtiennent pour i entier positif, i=1 correspondant à la plus petite donne x=72

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  • Mai 2017, 2e défi

    le 13 de mayo de 2017 à 16:16, par drai.david

    1ère coquille : ça commence bien !!!
    Dans ma 2ème généralisation (avec 5x comme puissance 5ème) il faut lire 215320524n30 !

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