Un défi par semaine

Mai 2017, 2e défi

Le 12 mai 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Déterminer le plus petit entier positif $x$ tel que $2x$ soit un carré et $3x$ soit un cube.

Solution du 1er défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $145$.

Comme le nombre de Zoé a deux chiffres, le nombre maximal que peut obtenir Ysabel est $9^2+9^2=162$, par conséquent il a $1$, $2$ ou $3$ chiffres.

  • Si le nombre d’Ysabel n’a qu’un chiffre, alors il est au plus $9$, et le nombre de Xavier est donc au plus $9^2=81$. D’autre part, ce résultat est possible, si par exemple Zoé a choisi $30$.
  • Si le nombre d’Ysabel a deux chiffres, il est au plus $99$. Mais $99$ n’est pas la somme de deux carrés parfaits, donc le nombre d’Ysabel est en fait au plus $98=7^2+7^2$. Ce dernier peut bien être obtenu si Zoé a choisi $77$. Dans ce cas, le nombre de Xavier est $9^2+8^2= 145$, et c’est le maximum qu’il puisse obtenir à partir d’un nombre à deux chiffres.
  • Si le nombre d’Ysabel a trois chiffres, alors le premier chiffre est un $1$, et le nombre est au plus $162$. Dans ce cas, le nombre dont la somme des carrés des chiffres est maximale est $159$ pour lequel cette somme vaut $1^2+5^2+9^2=107$, qui est inférieur à $145$.

Le meilleur cas est le deuxième, et le nombre maximal que peut obtenir Xavier est donc $145$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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Image à la une - TAWACH / SHUTTERSTOCK

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  • Mai 2017, 2e défi

    le 12 mai 2017 à 08:15, par ROUX

    x=k.18=k.2.3^2.
    Si 2x est un carré, c’est que, vue l’écriture, 2.(k.2.3^2)=k.36.
    k est donc lui-même un carré d’entier.
    Si 3.x est un cube, c’est que, vue l’écriture, 3.(k.2.3^2)=2^(3n).3^(3m) ou k=2^(3n-1).3^(3m-3).
    Puisque k est un carré, il faut que 3n-1 soit un multiple de 2 et 3m-3 aussi, tout en étant les plus petits possibles.
    Donc n=1 et m=1 conviennent.
    Ils donnent alors k=2^2.3^0 ou k=4 ou x=72.
    La suite est alors, dans l’ordre, pour les différents quadruplets (n,m,k,x) : (1,1,4,72) ; (3,1,256,4608) ;(1,3,2916,52488) ; etc.
    x=72.

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