Enoncé

La réponse est $145$.

Comme le nombre de Zoé a deux chiffres, le nombre maximal que peut obtenir Ysabel est $9^2+9^2=162$, par conséquent il a $1$, $2$ ou $3$ chiffres.

• Si le nombre d’Ysabel n’a qu’un chiffre, alors il est au plus $9$, et le nombre de Xavier est donc au plus $9^2=81$. D’autre part, ce résultat est possible, si par exemple Zoé a choisi $30$.
• Si le nombre d’Ysabel a deux chiffres, il est au plus $99$. Mais $99$ n’est pas la somme de deux carrés parfaits, donc le nombre d’Ysabel est en fait au plus $98=7^2+7^2$. Ce dernier peut bien être obtenu si Zoé a choisi $77$. Dans ce cas, le nombre de Xavier est $9^2+8^2= 145$, et c’est le maximum qu’il puisse obtenir à partir d’un nombre à deux chiffres.
• Si le nombre d’Ysabel a trois chiffres, alors le premier chiffre est un $1$, et le nombre est au plus $162$. Dans ce cas, le nombre dont la somme des carrés des chiffres est maximale est $159$ pour lequel cette somme vaut $1^2+5^2+9^2=107$, qui est inférieur à $145$.

Le meilleur cas est le deuxième, et le nombre maximal que peut obtenir Xavier est donc $145$.