Un défi par semaine

Mai 2017, 3e défi

Le 19 mai 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 20 :

On utilise $125$ petits cubes pour former un gros cube de taille $5\times 5\times 5$. Les petits cubes de l’extérieur sont peints alternativement en noir et blanc, de sorte que les cubes des coins soient tous noirs. Quelle est la différence entre le nombre de cubes ayant des faces noires et le nombre de cubes ayant des faces blanches ?

Solution du 2e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $x=72$.

Notons $x=2^a3^bm$ avec $m$ entier premier avec $2$ et $3$. Comme $2x=2^{a+1}3^bm$ est un carré, les entiers $a+1$ et $b$ sont pairs et $m$ est un carré. Comme $3x=2^{a}3^{b+1}m$ est un cube, les entiers $a$ et $b+1$ sont multiples de $3$ et $m$ est un cube. Le plus petit entier positif $a$ qui est multiple de $3$ et tel que $a+1$ est pair est le nombre $3$.
De même le plus petit $b$ qui est pair est tel que $b+1$ est multiple de $3$ est le nombre $2$. Enfin le plus petit $m$ qui soit à la fois un carré et un cube est le nombre $1$. Par conséquent, la valeur minimale de $x$ est $2^3\times 3^2\times 1=72$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - TAWACH / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mai 2017, 3e défi

    le 19 mai à 12:08, par Bernard Hanquez

    Considérons les 5 tranches du cube.
    La tranche supérieure comporte 25 cubes (tous extérieurs) dont 13 noirs et 12 blancs.
    Les 3 tranches intermédiaires comportent chacune 16 cubes extérieurs dont 8 noirs et 8 blancs.
    La tranche inférieure comporte 25 cubes (tous extérieurs) dont 13 noirs et 12 blancs.

    Il y a donc au total 50 cubes noirs et 48 cubes blancs.
    La différence est par conséquent égale à 2.

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    • Mai 2017, 3e défi

      le 19 mai à 12:20, par ROUX

      J’aime bien.
      Chaque tranche a un périmètre de 4*(n-1) cubes et, puisque n est impair, il y a une différence de 0 entre les nombres de cubes noirs et blancs donc chaque tranche a une contribution nulle.
      Donc il ne reste que les contributions des deux tranches extrêmes.
      Ok  ;-) !

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  • Mai 2017, 3e défi

    le 19 mai à 12:15, par ROUX

    CUBE à n*n*n cubes.
    Construction des faces.
    2 faces à n*n cubes.
    (n+1)/2 lignes à +1 cube noir et (n-1)/2 lignes à -1 cube noir, soit un bilan de +1 cube noir par face.
    2 faces à n*(n-2) cubes.
    (n+1)/2 lignes à -1 cube noir et (n-1)/2 lignes à +1 cube noir, soit un bilan de -1 cube noir par face.
    2 faces à (n-2)*(n-2) cubes.
    ((n-2)+1)/2 lignes à +1 cube noir et ((n-2)-1)/2 lignes à -1 cube noir, soit un bilan de +1 cube noir par face.
    Le bilan est 2 cubes noirs en plus.
    Le résultat demandé est : +2.

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  • Mai 2017, 3e défi

    le 19 mai à 23:53, par drai.david

    Nombre de cubes extérieurs = 3n2-12n+8.
    Nombre de cubes noirs = 3n2-6n+5.
    Nombre de cubes blancs = 3n2-6n+3.
    Noirs - Blancs = 2.

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  • Mai 2017, 3e défi

    le 20 mai à 09:37, par drai.david

    Erratum : Nombre de cubes extérieurs = 6n2-12n+8, évidemment !

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  • Mai 2017, 3e défi

    le 20 mai à 10:11, par drai.david

    Et le résultat reste 2 pour n’importe quel pavé droit de dimensions impaires.

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  • Mai 2017, 3e défi

    le 20 mai à 12:40, par Daniate

    Bonjour

    Le résultat peut s’obtenir sans calcul. Il suffit de placer deux araignées aux centres de deux faces opposées (cube noir puisque sur la diagonale d’une face). Elles se déplacent d’un cube à la fois, simultanément et en restant symétriques par rapport au centre du cube, formant d’abord une spirale sur une face, puis une fois cette spirale achevée passant à la couche contiguë (cube blanc au début, noir à la fin) et recommencent jusqu’à rencontrer un cube déjà exploré par l’autre. Ce cube est forcément blanc puisque au début d’une couche donc elles s’arrêtent sur un cube noir. Chaque chemin compte un cube noir de plus, et à elles deux elles ont parcouru tous les cubes de la surface du cube. La méthode s’applique à tout cube dont l’arête est impaire. Pour les pavés droits on remplace la spirale du début par un zig-zag en partant d’un sommet.

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  • Mai 2017, 3e défi

    le 23 mai à 15:22, par Daniate

    La ressemblance avec la relation d’Euler SA=2 conduit à une autre démonstration sans calcul. Enlevons les sommets (noirs), il reste sur les arêtes un blanc de plus. Reste des faces sans sommets et sans arêtes sur lesquelles on pose des dominos noir-blanc jusqu’il reste le centre (noir) . La relation d’Euler donne la réponse.

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