Un défi par semaine

Mai 2017, 4e défi

Le 26 mai 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 21 :

De combien de façons différentes peut-on placer les nombres de $1$ à $7$ dans les cercles de sorte que les sommes des nombres aux sommets des trois triangles coloriés soient égales ?

PNG - 28.3 ko

Solution du 3e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $2$.

Voici une image du gros cube colorié.

PNG - 19.3 ko

On vérifie que chaque face du gros cube est composée de $13$ cubes noirs et de $12$ cubes blancs, ce qui fait qu’on voit $13\times 6 = 78$ petites faces noires et $12\times 6 = 72$ petites faces blanches. Or le gros cube a $12$ arêtes, et sur chaque arête il y a $2$ cubes blancs dont on voit deux faces, donc en fait il n’y a que $72-12\times 2=48$ petits cubes blancs. De même chaque arête compte $1$ cube noir dont on voit deux faces, et chacun des $8$ sommets du gros cube est vu trois fois. Par conséquent il n’y a que $78-12-8\times 2=50$ petits cubes noirs. Donc la différence entre le nombre de cubes noirs et le nombre de cubes blancs est $50-48=2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - TAWACH / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mai 2017, 4e défi

    le 26 mai à 07:49, par Florian

    On peut voir le problème ainsi. On retire un nombre $a$ (le sommet commun aux trois triangles) à $\left\{ 1, \dots, 7 \right\}$ puis on fait 3 paires de somme égale. Soit $A = \left\{ 1, \dots, 7 \right\} - \left\{ a \right\}$. On doit avoir $\sum_{b \in A} b$ qui est un multiple de $3$. Cela indique que pour un $a$ fixé, il n’y a qu’une valeur que la somme de chaque paire peut prendre, donc pour un $a$ fixé, les paires sont uniques (aux permutations près). Cela fonctionne pour $a = 1$, $a = 4$ et $a = 7$. Dans les 3 cas, on peut ensuite faire les 3 paires de somme égale :

    $a = 1$ : $(2,7), (3,6), (4,5)$

    $a = 4$ : $(1,7), (2,6), (3,5)$

    $a = 7$ : $(1,6), (2,5), (3,4)$

    Sans les permutations, on a donc 3 possibilités. En comptant les permutations, chacune de ses possibilité peut être écrite de 8 manière différentes, donc $24$.

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    • Mai 2017, 4e défi

      le 26 mai à 11:19, par drai.david

      Et les permutations sur les triangles ? Il y en a 6.
      Donc la solution au problème est 24x6=144.

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      • Mai 2017, 4e défi

        le 26 mai à 12:30, par Florian

        Bien vu ! au temps pour moi

        Répondre à ce message
        • Mai 2017, 4e défi

          le 26 mai à 14:42, par drai.david

          Généralisation à n triangles : 3 x 2n x n ! solutions.

          Répondre à ce message
  • Mai 2017, 4e défi

    le 27 mai à 18:06, par drai.david

    J’ai planché sur généralisation moins évidente :
    Supposons qu’au lieu de 3 triangles, nous ayons n polygones à n côtés, disposés en étoile, avec un sommet commun.
    « De combien de façons différentes peut-on placer les nombres de 1 à n2-n+1 dans les cercles de sorte que les sommes des nombres aux sommets des n polygones coloriés soient égales ? »

    * Pour n = 4, pas de souci, ça peut encore se faire à la main, et je trouve 311 040 solutions.
    * Mais pour n = 5, je vous laisse y réfléchir (et faire un petit programme).
    Le résultat est tout simplement astronomique !!!
    Bon courage !

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