Un défi par semaine

Mai 2017, 4e défi

Le 26 mai 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 21 :

De combien de façons différentes peut-on placer les nombres de $1$ à $7$ dans les cercles de sorte que les sommes des nombres aux sommets des trois triangles coloriés soient égales ?

PNG - 28.3 ko

Solution du 3e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $2$.

Voici une image du gros cube colorié.

PNG - 19.3 ko

On vérifie que chaque face du gros cube est composée de $13$ cubes noirs et de $12$ cubes blancs, ce qui fait qu’on voit $13\times 6 = 78$ petites faces noires et $12\times 6 = 72$ petites faces blanches. Or le gros cube a $12$ arêtes, et sur chaque arête il y a $2$ cubes blancs dont on voit deux faces, donc en fait il n’y a que $72-12\times 2=48$ petits cubes blancs. De même chaque arête compte $1$ cube noir dont on voit deux faces, et chacun des $8$ sommets du gros cube est vu trois fois. Par conséquent il n’y a que $78-12-8\times 2=50$ petits cubes noirs. Donc la différence entre le nombre de cubes noirs et le nombre de cubes blancs est $50-48=2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - TAWACH / SHUTTERSTOCK

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