Un défi par semaine

Mai 2018, 2e défi

Le 11 mai 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 19

Soient $a$ et $b$ des entiers positifs tels qu’il y a exactement $10$ entiers plus grands que $a$ et plus petits que $b$, et exactement $1000$ entiers plus grands que $a^2$ et plus petits que $b^2$. Déterminer la valeur de $b$.

Solution du 1er défi de Mai :

Enoncé

La réponse est : $3$ litres.

Si $x$ est la quantité initiale de litres d’eau, après la
première itération du processus, il reste
$\frac{2}{3}x+1$ litres.
Ensuite, il reste$\frac{2}{3}\left (\frac{2}{3}x+1\right )+1=\frac{2^2}{3^2}x+\frac{2}{3}+1$ litres après la seconde itération.
La troisième fois, on aura
$\frac{2}{3}\left (\frac{2^2}{3^2}x+\frac{2}{3}+1\right )+1=\frac{2^3}{3^3}x+ \frac{2^2}{3^2}+\frac{2}{3}+1$.
De même, après la sixième itération on aura
$\frac{2^6}{3^6}x+\frac{2^5}{3^5}\cdots+ \frac{2^2}{3^2}+\frac{2}{3}+1$ litres.
On calcule alors
\[ \begin{eqnarray*} \frac{2^6}{3^6}x+\frac{2^5}{3^5}\cdots+ \frac{2^2}{3^2}+\frac{2}{3}+1&= &3\\ \frac{2^6}{3^6}x&=&3-\left (1+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{2^5}{3^5}\right )\\ x & = & \frac{3^7}{2^6}-\frac{3^6}{2^6}\left (\frac{1-\frac{2^6}{3^6}}{1-\frac{2}{3}}\right )\\ x & = & \frac{3^7}{2^6}-\frac{3^6}{2^6}\left (\frac{3^6-2^6}{3^5}\right )\\ x & = & \frac{3^7}{2^6}-\frac{3(3^6-2^6)}{2^6}\\ x & = & \frac{3^7}{2^6}-\frac{3^7}{2^6}+3 = 3\,\mbox{litres}. \end{eqnarray*}\]

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2018, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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