Un défi par semaine

Mai 2018, 2e défi

El 11 mayo 2018  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 19

Soient $a$ et $b$ des entiers positifs tels qu’il y a exactement $10$ entiers plus grands que $a$ et plus petits que $b$, et exactement $1000$ entiers plus grands que $a^2$ et plus petits que $b^2$. Déterminer la valeur de $b$.

Solution du 1er défi de Mai :

Enoncé

La réponse est : $3$ litres.

Si $x$ est la quantité initiale de litres d’eau, après la
première itération du processus, il reste
$\frac{2}{3}x+1$ litres.
Ensuite, il reste$\frac{2}{3}\left (\frac{2}{3}x+1\right )+1=\frac{2^2}{3^2}x+\frac{2}{3}+1$ litres après la seconde itération.
La troisième fois, on aura
$\frac{2}{3}\left (\frac{2^2}{3^2}x+\frac{2}{3}+1\right )+1=\frac{2^3}{3^3}x+ \frac{2^2}{3^2}+\frac{2}{3}+1$.
De même, après la sixième itération on aura
$\frac{2^6}{3^6}x+\frac{2^5}{3^5}\cdots+ \frac{2^2}{3^2}+\frac{2}{3}+1$ litres.
On calcule alors
\[ \begin{eqnarray*} \frac{2^6}{3^6}x+\frac{2^5}{3^5}\cdots+ \frac{2^2}{3^2}+\frac{2}{3}+1&= &3\\ \frac{2^6}{3^6}x&=&3-\left (1+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{2^5}{3^5}\right )\\ x & = & \frac{3^7}{2^6}-\frac{3^6}{2^6}\left (\frac{1-\frac{2^6}{3^6}}{1-\frac{2}{3}}\right )\\ x & = & \frac{3^7}{2^6}-\frac{3^6}{2^6}\left (\frac{3^6-2^6}{3^5}\right )\\ x & = & \frac{3^7}{2^6}-\frac{3(3^6-2^6)}{2^6}\\ x & = & \frac{3^7}{2^6}-\frac{3^7}{2^6}+3 = 3\,\mbox{litres}. \end{eqnarray*}\]

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mai 2018, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Comentario sobre el artículo

  • Mai 2018, 2e défi

    le 11 de mayo de 2018 à 08:49, par Bernard Hanquez

    Bonjour,

    De la première contrainte on tire b - a = 11
    De la seconde contrainte on tire b^2 - a^2 = 1001
    Or b^2 - a^2 = (b - a) * (b + a)
    Donc b + a = 1001 / 11 = 91
    Donc (b - a) + (b + a) = 2 * b = 11 + 91 = 102
    b est donc égal à 51

    Répondre à ce message
    • Mai 2018, 2e défi

      le 17 de mayo de 2018 à 14:33, par ROUX

      Mais pourquoi pas b-a=10?
      b-a=11 devrait être codé: «Il y a exactement 10 entiers plus grands que a entre a et b exclus».
      Dans les exactement 10 entiers plus grands que b où lirais-je que b n’en fait pas partie?

      Répondre à ce message
      • Mai 2018, 2e défi

        le 17 de mayo de 2018 à 14:34, par ROUX

        Oups!!!
        Compris 😉😢😉😢

        Répondre à ce message

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