Un défi par semaine

Mai 2018, 3e défi

Le 18 mai 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (15)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 20

Si on a un cercle de rayon $1$, est-il possible de trouver un
rectangle qui a la même aire que le cercle et le même périmètre que
la circonférence ?

Solution du 2e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est : $b=51$

En partant des conditions du problème, on obtient $b-a=11$ et $b^2-a^2=1001$. Comme $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$, on a $1001=11(a+b)$, d’où $a+b=\frac{1001}{11}=91$. Enfin, de $b-a=11$ et $b+a=91$, on obtient $b=51$ et $a=40$.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Mai 2018, 3e défi

    le 18 mai à 08:37, par Kamakor

    Cela est impossible quelque soit le le rayon $r$ du cercle.
    En effet supposons qu’un tel rectangle existe. Notons $a$ et $b$ ses dimensions.
    Alors, on a d’une part $a \times b=\pi r^2$ et d’autre part $2a+2b=2\pi r$ soit $a+b=\pi r$.
    De plus, $a$ et $b$ sont solutions de l’équation $(x-a)(x-b)=0$
    Or, $(x-a)(x-b)=0 \:\:\Leftrightarrow\:\: x^2-(a+b)x+ab=0 \:\:\Leftrightarrow\:\: x^2 - \pi rx + \pi r^2=0$
    Le discriminant de cette équation est $\Delta= \pi^2 r^2 - 4 \pi r^2=(\pi-4)\pi r^2<0$
    Par conséquent, l’équation n’a pas de solutions : $a$ et $b$ n’existent pas.

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    • Mai 2018, 3e défi

      le 18 mai à 11:43, par Niak

      Votre troisième ligne donnait aussi directement $\pi=\frac{(a+b)^2}{ab}$ rationnel.

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      • Mai 2018, 3e défi

        le 18 mai à 11:48, par Niak

        Non, n’importe quoi, personne n’a parlé de dimensions entières...

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  • Mai 2018, 3e défi

    le 18 mai à 12:52, par Celem Mene

    L’aire du cercle est de π et son périmètre de 2π.

    Le rectangle devrait faire : a * b = π et 2(a + b) = 2π. Autrement dit : ab = a + b, seul 2 pour a et b convient.

    On ne peut donc pas trouver un tel rectangle.

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    • Mai 2018, 3e défi

      le 18 mai à 13:31, par Nico

      Non, il n’y a pas que le couple (2 ;2) qui répond à l’équation ab = a+b, tous les couples du type (n ; n/(n-1)) y répondent aussi.
      Il faut rajouter la contrainte ab= π pour arriver à une impossibilité

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    • Mai 2018, 3e défi

      le 18 mai à 15:14, par Daniate

      Encore une fois, l’argument n’est valable que pour des dimensions entières. Dans l’ensemble des réels positifs l’ équation admet une infinité de solutions de la forme b=a/(a-1).

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      • Mai 2018, 3e défi

        le 18 mai à 17:02, par Celem Mene

        Oui, merci pour ta remarque mais puisqu’il s’agit de tracer des cercles et des rectangles l’emploi des nombres naturels m’a paru suffisant. Il y a aussi le couple (0,0) par exemple, mais ça n’a pas beaucoup de sens, à mon avis.

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        • Mai 2018, 3e défi

          le 18 mai à 18:50, par Daniate

          Si l’on pouvait réussir la figure avec des entiers on aurait réussi à résoudre la quadrature du cercle. Dommage.

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  • Mai 2018, 3e défi

    le 18 mai à 17:00, par Davidoo

    Si l’on admet qu’à périmètre constant, le disque est la surface d’aide maximale (ce qui n’est pas évident), le carré de même périmètre que le disque ne peut avoir qu’une surface plus petite. D’où l’impossibilité de la construction.

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  • Mai 2018, 3e défi

    le 18 mai à 18:43, par Davidoo

    J’aurais dû dire « le rectangle de même périmètre... »

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    • Mai 2018, 3e défi

      le 18 mai à 18:58, par Daniate

      En pure logique dire que le cercle est maximum n’interdit pas une autre forme d’être aussi maximum. Ce n’est bien sûr pas le cas mais c’est justement ce qui rend la démonstration délicate. Toutefois la forme des crêpes rend évident le résultat, méthode satisfaisante pour les non-matheux.

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      • Mai 2018, 3e défi

        le 18 mai à 23:21, par Davidoo

        J’ai écrit : « est LA surface d’aide maximale » ce qui exclut qu’une autre forme et en particulier un rectangle puisse avoir une aire maximale. Ceci fait tomber votre objection.
        Bien évidemment résoudre un problème aussi simple en s’appuyant sur un théorème puissant et difficile (voir par exemple https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorème_isopérimétrique) est une escroquerie, mais évite de résoudre une équation du second degré 😃

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        • Mai 2018, 3e défi

          le 19 mai à 17:53, par Daniate

          Je vous prie de m’excuser d’avoir négligé votre LA, mais vous allez trop loin de parler d’escroquerie. Combien de théorèmes s’appuient-ils sur d’autres théorèmes ? Vient-il à l’esprit de demander la démonstration du théorème de Pythagore à chaque fois qu’on l’utilise ?

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  • Mai 2018, 3e défi

    le 21 mai à 16:39, par Al_louarn

    Le périmètre du rectangle de dimensions $a$ et $b$ est $2(a+b)$, et son aire est $ab$.
    La circonférence du cercle de rayon $1$ est $2\pi$ et son aire est $\pi$.
    Donc $a+b=\pi$ et $ab=\pi$.
    Le rectangle s’inscrit dans un cercle de rayon $r$, dont l’aire est strictement plus grande que celle du rectangle, qui elle est aussi celle du cercle de rayon $1$, donc $r>1$.
    Par ailleurs en prenant 3 sommets du rectangle on a un triangle rectangle dont l’hypoténuse est le diamètre du cercle. Le théorème de Pythagore donne alors $4r^2=a^2+b^2=(a+b)^2 - 2ab$.
    Donc $4r^2=\pi^2 - 2\pi$, ce qui donne $r=\dfrac{\sqrt{\pi(\pi - 2)}}{2}$, soit environ $0.9$, d’où contradiction.

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  • Mai 2018, 3e défi

    le 22 mai à 08:57, par Julien Bernat

    S’agissant de l’aire, il faudrait remplacer cercle par disque...

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