Un défi par semaine

Mai 2018, 3e défi

Le 18 mai 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (15)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 20

Si on a un cercle de rayon $1$, est-il possible de trouver un
rectangle qui a la même aire que le cercle et le même périmètre que
la circonférence ?

Solution du 2e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est : $b=51$

En partant des conditions du problème, on obtient $b-a=11$ et $b^2-a^2=1001$. Comme $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$, on a $1001=11(a+b)$, d’où $a+b=\frac{1001}{11}=91$. Enfin, de $b-a=11$ et $b+a=91$, on obtient $b=51$ et $a=40$.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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  • Mai 2018, 3e défi

    le 21 mai 2018 à 16:39, par Al_louarn

    Le périmètre du rectangle de dimensions $a$ et $b$ est $2(a+b)$, et son aire est $ab$.
    La circonférence du cercle de rayon $1$ est $2\pi$ et son aire est $\pi$.
    Donc $a+b=\pi$ et $ab=\pi$.
    Le rectangle s’inscrit dans un cercle de rayon $r$, dont l’aire est strictement plus grande que celle du rectangle, qui elle est aussi celle du cercle de rayon $1$, donc $r>1$.
    Par ailleurs en prenant 3 sommets du rectangle on a un triangle rectangle dont l’hypoténuse est le diamètre du cercle. Le théorème de Pythagore donne alors $4r^2=a^2+b^2=(a+b)^2 - 2ab$.
    Donc $4r^2=\pi^2 - 2\pi$, ce qui donne $r=\dfrac{\sqrt{\pi(\pi - 2)}}{2}$, soit environ $0.9$, d’où contradiction.

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