Un défi par semaine

Mai 2018, 4e défi

Le 25 mai 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 21

Trois nombres entiers $a,b,c$ vérifient les conditions suivantes
\[ \begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2 & = &210\\ a+b+c & = &24\\ abc & = & 440. \end{eqnarray*} \]
Quelles sont les valeurs possibles de $a^3+b^3+c^3$ ?

Solution du 3e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est : Ce n’est pas possible.

L’aire du cercle est $\pi$ et son périmètre est $2\pi$.
Donc, si $a$ et $b$ sont les côtés du rectangle, on veut trouver un
rectangle qui a une aire $ab=\pi$ et un périmètre $2(a+b)=2\pi$. On
résout la seconde équation en $a$ pour obtenir $a=\pi-b$, et en utilisant la première on obtient $(\pi-b)b=\pi$, soit $b^2-\pi b+\pi=0$. En résolvant cette équation du second degré,
on a alors
\[ b=\frac{\pi \pm\sqrt{\pi^2-4\pi}}{2}, \]
qui a une solution si $\pi^2-4\pi\geq 0$. Or $\pi^2-4\pi=\pi(\pi-4)<0$, et par conséquent il n’est pas possible de trouver un rectangle ayant les caractéristiques demandées.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Mai 2018, 4e défi

    le 25 mai à 09:56, par Niak

    Considérons le polynôme $P = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc$. De l’identité $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$, on déduit $ab+ac+bc=\frac{24^2-210}{2}=183$. D’où $P=x^3-24x^2 + 183x -440 = (x-5)(x-8)(x-11)$, $\{a,b,c\}=\{5,8,11\}$ et $a^3+b^3+c^3=1968$.

    Répondre à ce message
    • Mai 2018, 4e défi

      le 25 mai à 10:19, par drai.david

      Très joli !
      Cependant, la résolution de l’équation du 3ème degré ne se fait pas de tête... ;-)

      Répondre à ce message
      • Mai 2018, 4e défi

        le 25 mai à 11:33, par Niak

        Certes, c’était surtout pour être le plus complet possible dans la réponse. Mais en réalité, pour calculer $a^3+b^3+c^3$, on n’a pas besoin de factoriser $P$ : pour $x\in\{a,b,c\}$, on a par construction $P(x)=0$ donc $x^3=24x^2-183x+440$ ce qui donne, lorsqu’on somme les trois, $a^3+b^3+c^3 = 24\cdot210-183\cdot24+440\cdot3=1968$.

        Répondre à ce message
  • Mai 2018, 4e défi

    le 25 mai à 10:13, par drai.david

    On peut supposer $0 < a\leqslant b\leqslant c$.
    La première équation impose $\sqrt{70}\leqslant c\leqslant \sqrt{208}$. D’où $9\leqslant c\leqslant 14$.
    Comme $440=2^8\times 5\times 11$, on en déduit que $c\in\left\{10,11\right\}$.
    Si $c=10$ , alors $ab=44$ et $\sqrt{44}\leqslant b\leqslant c$. D’où $7\leqslant b\leqslant 10$.
    Or ceci est impossible car aucun diviseur de $44$ n’est dans cet intervalle. Donc $c=11$.
    La première équation devient donc $a^2+b^2=89$, ce qui impose $\sqrt{\frac{89}{2}}\leqslant b\leqslant \sqrt{88}$. D’où $7\leqslant b\leqslant 9$. Comme $b$ divise $40$, on en déduit $b=8$ et $a=5$.
    Ainsi, $a^3+b^3+c^3=5^3+8^3+11^3=125+512+1331=1968$.

    Répondre à ce message
  • Mai 2018, 4e défi

    le 25 mai à 10:21, par drai.david

    ARGHH ! Coquille : $440=2^3 \times 5 \times 11$ !!!

    Répondre à ce message
    • Mai 2018, 4e défi

      le 25 mai à 11:50, par Celem Mene

      Oui, et de cette décomposition on peut en déduire le reste très facilement.

      Ainsi de a + b + c = 24, qu’une des inconnues doit être 11. (Si l’on devait le multiplier par 2, cela ne nous laisserait que 1 et 1 pour les autres inconnues, et cela ne convient pas, et par 5 cela serait trop grand).

      Disons donc que c = 11. De abc = 440, nous déduisons que ab = 40. Or 2³ * 5 = 40, donc a = 5 et b = 8. Qu’on peut vérifier en les introduisant dans les équations données.

      5² + 8² + 11² = 210
      5 + 8 + 11 = 24
      5 * 8 * 11 = 440

      2² * (5 * 2) = 40 aussi, mais 4 + 10 + 11 ne font pas 24.
      2 * (5 * 2²) = 40 également, mais la aussi 2 + 20 + 11 ne font pas 24.

      Ainsi 5³ + 8³ + 11³ = 1968, et c’est la seule solution.

      Répondre à ce message
  • Mai 2018, 4e défi

    le 25 mai à 10:56, par Daniate

    a²+b²=210-c², a+b=24-c, ab=440/c
    (a+b)²=a²+b²+2ab donc (24-c)²=210-c²+880/c équation qui se ramène à

    c^3=24c²-183c+440

    En remplaçant c par a puis par b on obtient 3 égalités qui ajoutées membre à membre donnent :

    a^3+b^3+c^3=24(a²+b²+c²)-183(a+b+c)+3x440=1968 petit hommage au cinquantenaire auquel nul n’échappe.

    Répondre à ce message
    • Mai 2018, 4e défi

      le 25 mai à 11:12, par drai.david

      C’est beaucoup plus esthétique que ma méthode bulldozer !

      Répondre à ce message
    • Mai 2018, 4e défi

      le 25 mai à 18:47, par ROUX

      C’est évidemment celle que je préfère ;-) !

      Evidemment : lorsque j’ai vu le nombre de commentaire j’ai rêvé que vous soyez intervenu...

      Quel bonheur lorsque le rêve passe dans la réalité :-) !

      Répondre à ce message
  • Mai 2018, 4e défi

    le 25 mai à 15:55, par pogarreau

    Sans calculer a, b, c on a d’une part en développant a+b+c au cube :
    (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 6abc + 3a²b+3a²c+3b²a+3b²c+3c²a+3c²b
    En comparant avec le produit
    (a+b+c)(a²+b²+c²) = a^3+b^3+c^3 + a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b
    Qu’on soustrait après avoir introduit un facteur 3 libertin :
    (a+b+c)^3 -3(a+b+c)(a²+b²+c²) = 6abc -2(a^3+b^3+c^3)
    ce qui donne
    a^3+b^3+c^3 = 3abc + ( (a+b+c)² - 3(a²+b²+c²) ) (a+b+c) /2

    Puis il suffit de lancer le calcul avec le gros pavé du clavier :
    a^3+b^3+c^3 = 3 * 440 + ( -24² + 3*210) 24/ 2 = 1968

    Répondre à ce message
  • Mai 2018, 4e défi

    le 26 mai à 09:46, par drai.david

    Les deux millésimes encadrant $1968$ qui pourraient être solution de problème avec $a$, $b$ et $c$ distincts deux à deux et premiers entre eux globalement sont $1945=12^3+6^3+1^3$ et $2059=11^3+8^3+6^3$.
    C’est donc assez rare, d’où la pertinence de proposer ce problème maintenant !
    Plus proche de nous et sans contraintes sur $a$, $b$ et $c$, il y a tout de même $2017=11^3+7^3+7^3$.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM