Un défi par semaine

Mai 2019, 1er défi

Le 3 mai 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 18

L’arête du cube mesure $3$ cm. Placer $X$ à une distance de
$1$ cm de $A$ sur $[AD]$, $Z$ à $1$ cm de $G$ sur
$[GF]$ et $Y$ à $2$ cm de $B$ sur $[BE]$.

PNG - 13 ko

Quelle est l’aire du triangle $XYZ$ ?

Solution du 4e défi d’avril :

Enoncé

La solution est $132$, $264$ et $396$.

Si $a$, $b$ et $c$ sont les chiffres du nombre initial, les nombres à deux chiffres que l’on peut former sont $10 a + b$, $10 b + a$, $10 a + c$, $10 c + a$, $10 b + c$ et $10 c + b$. Leur somme vaut donc $22(a+b+c)$.

On cherche donc les entiers $1 \leq a, b, c \leq 9$ tous différents tels que l’on ait $22(a+b+c) = 100 a + 10 b + c$, ce que l’on peut encore écrire

\[ \begin{eqnarray*} 12 b + 21 c & = & 78 a\\ 4 b + 7c & = & 26 a. \end{eqnarray*} \]

Une telle équation force $c$ à être pair. En l’écrivant $c = 2c'$, on trouve l’équation équivalente $2 a + 7c' = 13a$. Puisque $a$, $b$ et $c$ sont des chiffres, on a $1 \leq a, b \leq 9$ et $1 \leq c' \leq 4$. Le nombre $2b + 7c' = 13a$ est donc un multiple de $13$ inférieur à $2 \times 9 + 7 \times 4 = 46$. Les trois possibilités sont $13$, $26$ et $39$, qui correspondent aux valeurs $1$, $2$ et $3$ pour $a$.

  • Si $a = 1$, on cherche $1 \leq b \leq 9$ et $1 \leq c' \leq 4$ tels que $2b + 7 c' = 13$, et on vérifie que $(b,c') = (3,1)$ est la seule solution, qui correspond à $c=2$ et au nombre à trois chiffres $132$.
  • Si $a = 2$, on cherche $1 \leq b \leq 9$ et $1 \leq c' \leq 4$ tels que $2b + 7 c' = 26$, et on vérifie que $(b,c') = (6,2)$ est la seule solution, qui correspond à $c=4$ et au nombre à trois chiffres $264$.
  • Si $a = 3$, on cherche $1 \leq b \leq 9$ et $1 \leq c' \leq 4$ tels que $2b + 7 c' = 39$, et on vérifie que $(b,c') = (9,3)$ est la seule solution, qui correspond à $c=6$ et au nombre à trois chiffres $396$.
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2019, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - CETUS/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mai 2019, 1er défi

    le 3 mai à 10:34, par LFLE

    En donnant une base orthonormée au cube avec pour origine $E (0,0,0)$ et comme axe : $EB (B(3,0,0))$, $EF (F(0,3,0))$ et $EH (H(0,0,3))$, on obtient les coordonnées suivantes :
    $X(3,1,3)$
    $Y(1,0,0)$
    $Z(0,3,2)$

    On peut de ce fait calculer les distances et on obtient $XY = YZ = ZX = \sqrt{14}$.
    Ainsi le triangle est équilatérale et sa base est $\sqrt{14}$. Or la hauteur d’un triangle équilatérale de base $a$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}a$.
    Du coup l’aire du triangle XYZ est de $\frac{7}{2}\sqrt{3}$ soit environ $6.062$

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  • Mai 2019, 1er défi

    le 3 mai à 18:38, par LALANNE

    Le triangle AGF est équilatéral car ses côtés sont les diagonales du cube.
    X est obtenu par la translation AX du point A.
    Si NM est la normale au triangle AGF passant par son barycentre,
    les points Z et Y sont obtenus après rotation de 2*PI/3 et 4*PI/3 de cette translation.
    La transformation du triangle AGF en triangle XZY conserve la symétrie de 2*PI/3,
    donc le triangle XZY est aussi équilatéral.

    Répondre à ce message
  • Mai 2019, 1er défi

    le 3 mai à 22:15, par Didier Roche

    Ne serait ce pas le triangle AEG ?

    Répondre à ce message

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