Un défi par semaine

Mai 2019, 2e défi

Le 10 mai 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 19

Dans une boîte, il y a $10$ cartes présentant chacune un nombre distinct entre $1$ et $10$.
Si l’on pioche $3$ cartes au hasard, quelle est la probabilité que l’on sorte ces cartes dans l’ordre croissant ?

Solution du 1er défi de mai :

Enoncé

La solution est $\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Commençons par observer que l’image du triangle $XYZ$ par la
rotation d’un tiers de tour autour de l’axe $(HC)$ envoie le point
$X$ sur $Z$, le point $Z$ sur $Y$ et le point $Y$ sur $X$. On
obtient ainsi le même triangle et on en déduit que celui-ci est
équilatéral. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $XDG$, on obtient $XG^2 = 2^2+3^2 = 13$.

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Puisque $[XG]$ appartient à la face $ADGH$, ce segment est
perpendiculaire à $[GF]$. Par le théorème de
Pythagore
dans le triangle $XZG$ on a :
\[XZ^2=XG^2 + GZ^2 = 13 + 1 =14.\]
$XYZ$ est alors un triangle équilatéral de côté $\sqrt{14}$ cm, et l’on peut calculer son aire.

Par le théorème de Pythagore, sa hauteur mesure
\[\sqrt{\left(\sqrt{14}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3\times 14}}{2}\,\mbox{cm}\]
et l’aire de $XYZ$ est donc
$ \frac{\sqrt{14} \times \frac{\sqrt{3\times 14}}{2}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Réponse : $\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - CETUS/SHUTTERSTOCK.

Commentaire sur l'article

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  • Mai 2019, 2e défi

    le 10 mai 2019 à 19:42, par Blaxapate

    Quel que soit le triplet que l’on tire, il peut être ordonné de 6 manières différentes, parmi lesquels seulement une est l’ordre croissant.

    La probabilité est donc égale à $\frac{1}{6}$ !

    Répondre à ce message

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