Un défi par semaine

Mai 2019, 3e défi

Le 17 mai 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 20

Deux rectangles identiques de côtés $3$ cm et $9$ cm se superposent comme sur la figure. Quelle est l’aire de la partie commune à ces deux rectangles ?

PNG - 9.9 ko

Solution du 2e défi de mai :

Enoncé

La solution est $\dfrac{1}{6}$.

Appelons $a$, $b$ et $c$ les nombres sur les cartes piochées. Nous pouvons les sortir dans 6 ordres distincts :
$abc$, $acb$, $bac$, $bca$, $cab$, $cba$. Puisque seul l’un de ces ordres est l’ordre croissant, la probabilité recherchée est de $\frac{1}{6}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2019, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - CETUS/SHUTTERSTOCK.

Commentaire sur l'article

  • Mai 2019, 3e défi

    le 17 mai à 11:16, par Daniate

    Les triangles rectangles ont un périmètres de 12 cm (facile à démontrer), ce qui évoque la fameuse corde à 12 nœuds dont le but était justement de servir d’équerre avec le triangle 3,4,5.
    Nous voici avec un losange de 5 cm de côté qu’il vaut mieux considérer comme parallélogramme puisqu’on a la hauteur 3 cm et donc une aire de 15 cm².

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  • Mai 2019, 3e défi

    le 24 mai à 15:46, par Jérôme

    Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
    Tout d’abord je me dis que je vais pouvoir déterminer l’aire du parallélogramme si je détermine l’aire des triangles rectangles.
    Je connais la longueur d’un côté : 3 cm. Il me faut trouver une autre longueur ou un angle. Je pars sur la recherche de l’angle.
    Je note θ l’angle le plus petit entre le croisement des longueurs des rectangles, angle qui correspond à la rotation faite entre les deux rectangles.
    Pour trouver la rotation, je passe par les complexes (il y a sûrement plus simple, mais je suis nul en géométrie). Je place l’origine du plan au centre des rectangles, je note z1 le sommet en bas à droite du rectangle horizontal, et z2 celui du rectangle incliné.
    On a z1 = 4.5 − 1.5 i = √22.5 e^(i arctan(−1/3))
    On a z2 = 4.5 + 1.5 i = √22.5 e^(i arctan(1/3))
    La rotation est donnée par z2 / z1 = e^(i 2×arctan(1/3)), donc θ = 2×arctan(1/3) ≈ 33.7°.
    Donc dans notre triangle en haut à gauche, en notant x le côté du haut et y l’hypoténuse, nous avons :
    cos(θ) = x / y, sin(θ) = 3 / y.
    Donc : y = 3 / sin(θ) = 3 / 0.6 = 5, et x = y × cos(θ) = 5 × 0.8 = 4.
    Par conséquent l’aire du parallélogramme est :
    Ap = Ar − 2×At = 3×9 − 2 × 3×4/2 = 27 − 12 = 15 cm².
     
     
    Ma compagne a fait ça beaucoup plus simplement.
    Elle est partie sur le fait que l’aire du parallélogramme est la hauteur fois la longueur du côté. La hauteur est connue, 3 cm, donc il reste juste à déterminer la longueur du côté.
    Elle note x le côté supérieur du triangle en haut à gauche, donc le reste de ce côté du rectangle est 9 − x.
    Ensuite elle remarque que chaque triangle est identique. En effet, les triangles d’un même rectangle sont évidemment identiques vu que tout est symétrique. Ensuite, on peut déduire que les triangles dans les deux rectangles ont la même aire car pour chaque rectangle on a Ar = Ap +2×At, et puisque l’aire du rectangle et du parallélogramme est la même dans les deux cas, l’aire des triangles est la même. Et vu que les deux triangles sont rectangles et ont un côté de même longueur, ils sont identiques.
    Par conséquent, les deux côtés du parallélogramme font 9 − x.
    Prenons maintenant un des triangles et appliquons le théorème de Pythagore :
    (9 − x)² = 3² + x²
    81 −18x + x² = 9 + x²
    18x = 72
    x = 4
    Par conséquent 9 − x = 5, et l’aire est de 3×5 = 15 cm².

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