Un défi par semaine

Mai 2019, 4e défi

Le 24 mai 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 21

Combien d’entiers entre $1$ et $1000$ ne peuvent pas s’exprimer comme la différence entre deux carrés d’entiers ?

Solution du 3e défi de mai :

Enoncé

La solution est $15$ cm$^{2}$.

La partie non commune à ces deux rectangles est constituée
de $4$ triangles rectangles superposables d’hypoténuse $x$ et dont les autres côtés mesurent $3$ et $9-x$.

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D’après le théorème de Pythagore,
\[ \begin{eqnarray*} x^{2} & = & (9-x)^{2}+3^{2}\\ x^{2} & = & 90-18x+x^2\\ x & = & 5\, \mbox{cm}. \end{eqnarray*} \]

La région commune est un parallélogramme de base 5 cm et de hauteur 3 cm,
donc d’aire égale à $5\times 3=15$ cm$^{2}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - CETUS/SHUTTERSTOCK.

Commentaire sur l'article

  • Mai 2019, 4e défi

    le 24 mai à 12:10, par Niak

    Écrivons la différence de deux carrés sous la forme $(n+k)^2-n^2 = 2nk+k^2$. Cette différence est toujours de même parité que $k$.
    Pour $k=1$, elle devient $2n+1$, il est donc aisé de construire tout nombre impair comme différence de deux carrés d’entiers consécutifs.
    Pour $k=2k'$ pair, elle devient $4nk'$, donc les différences paires sont multiples de $4$. En choisissant $k'=1$, elle devient $4n$, il est donc aisé de construire n’importe quel nombre pair multiple de $4$ comme différence de deux entiers d’écart $2$.
    Les nombres non constructibles sont les nombres congrus à $2$ modulo $4$, il y en a $250$ entre $1$ et $1000$.

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    • Mai 2019, 4e défi

      le 24 mai à 12:23, par Niak

      Pardon, dans le cas $k=2k'$, la différence devient $4(n+k')k'$. Cela ne change pas le raisonnement.
      Mon erreur vient du fait que, dans le cas pair, j’envisageais plutôt de reconsidérer la différence sous une forme plus agréable $(n+k)^2-(n-k)^2 = 4nk$.

      Répondre à ce message
  • Mai 2019, 4e défi

    le 28 mai à 18:17, par Will

    $(n+1)^2-n^2=2n+1$, donc on peut récupérer tous les entiers impairs.

    $(n+2)^2-n^2=4n+4$, donc on peut récupérer tous les multiples de $4$.

    Supposons qu’un entier pair $k$ soit égal à $(n+p)^2-n^2=2p+p^2=p(2+p)$. Si $p$ est impair alors $2+p$ l’est aussi donc $p(2+p)$ est impair. Or $k$ est pair donc $p$ est pair donc $p=2l$, donc $k=2l(2+2l)=4l(1+l)$, donc $k$ est multiple de $4$.

    Conclusion : Les différences de deux carrés d’entiers sont exactement les nombres impairs et les multiples de $4$. Entre $1$ et $1000$, cela fait donc $250$ nombres qui ne peuvent pas s’écrire comme différence de deux carrés d’entiers.

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