Enoncé

La solution est $250$.

Soit $n$ un entier qui peut s’exprimer comme la différence entre deux carrés : $n=x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

Observons que $(x+y)$ et $(x-y)$ ont la même parité (soit les deux sont pairs, soit les deux sont impairs), de telle sorte que si $n$ est pair, alors il est également multiple de $4$.

Ainsi, les nombres pairs qui ne sont pas multiples de $4$ ne peuvent pas s’écrire comme la différence de deux carrés. Etudions les autres nombres :

Si $n$ est multiple de $4$, notons-le $n=4m$. Alors $(m+1)^2-(m-1)^2=n$.
Si $n$ est impair, notons-le $n=2r+1$. Alors $(r+1)^2-r^2=n$.

Par conséquent, les nombres entre $1$ et $1000$ qui ne peuvent pas s’écrire comme la différence entre deux carrés sont les nombres pairs non multiples de $4$, à savoir :
2, 6, 10, ..., 998, ce qui fait un total de $\frac{1000}{4}=250$ nombres.