Un défi par semaine

Mai 2019, 5e défi

Le 31 mai 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 22

Soit $X$ le résultat d’une seule des expériences suivantes :

Exp. 1 : $X$ est le nombre obtenu à l’issue d’un lancer de dé à $6$ faces.

Exp. 2 : $X$ est le nombre de « faces » obtenu à l’issue de cinq lancers de pile ou face avec une pièce de monnaie.

Si $X=5$, de quelle expérience provient le plus probablement ce résultat ?

Solution du 4e défi de mai :

Enoncé

La solution est $250$.

Soit $n$ un entier qui peut s’exprimer comme la différence entre deux carrés : $n=x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

Observons que $(x+y)$ et $(x-y)$ ont la même parité (soit les deux sont pairs, soit les deux sont impairs), de telle sorte que si $n$ est pair, alors il est également multiple de $4$.

Ainsi, les nombres pairs qui ne sont pas multiples de $4$ ne peuvent pas s’écrire comme la différence de deux carrés. Etudions les autres nombres :

Si $n$ est multiple de $4$, notons-le $n=4m$. Alors $(m+1)^2-(m-1)^2=n$.
Si $n$ est impair, notons-le $n=2r+1$. Alors $(r+1)^2-r^2=n$.

Par conséquent, les nombres entre $1$ et $1000$ qui ne peuvent pas s’écrire comme la différence entre deux carrés sont les nombres pairs non multiples de $4$, à savoir :
2, 6, 10, ..., 998, ce qui fait un total de $\frac{1000}{4}=250$ nombres.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2019, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - CETUS/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mai 2019, 5e défi

    le 31 mai à 11:23, par Will

    Lors de la première expérience, il y a une chance sur 6 d’observer $X=5$.

    Lors de la seconde expérience, il y a une chance sur $2^5=32$ d’observer $X=5$.

    Il est donc plus probable que ce résultat provienne de la première expérience.

    Répondre à ce message
  • Mai 2019, 5e défi

    le 2 juin à 10:17, par verdurin

    Je dirais qu’on ne peut pas répondre à la question.

    Il manque une donnée : la probabilité a priori de chacune des expériences possibles.

    Répondre à ce message
  • Mai 2019, 5e défi

    le 6 juin à 10:08, par Kamakor

    Si la seconde expérience a été réalisée moins de $\dfrac{16}{3}$ fois plus que la première alors il est plus probable que le résultat provienne de la première expérience.

    Si la seconde expérience a été réalisée plus de $\dfrac{16}{3}$ fois plus que la première alors il est plus probable que le résultat provienne de la seconde expérience.

    Si la seconde expérience a été réalisée $\dfrac{16}{3}$ de fois plus que la première alors il y a autant de chance que le résultat provienne de la première que de la deuxième.

    Répondre à ce message

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