Un défi par semaine

Mai 2020, 1er défi

Le 1er mai 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 18

Les diviseurs de $39$ sont $1$, $3$, $13$ et $39$ dont l’ensemble des chiffres des unités est $\{1,3,9\}$. Quel est le plus petit nombre dont l’ensemble des diviseurs a $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ pour ensemble des chiffres des unités ?

Solution du 4e défi d’avril :

Enoncé

Les diamètres des demi-cercles forment un hexagone régulier dont les côtés mesurent $4$ cm.
Nous pouvons voir que l’aire de la figure est égale à l’aire de cet hexagone.

Si l’on trace les diagonales de l’hexagone, celui-ci sera divisé en six triangles équilatéraux dont les côtés mesurent $4$ cm.

En utilisant le théorème de Pythagore, la hauteur de chacun de ces triangles mesure
$\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ cm.

L’aire recherchée est donc six fois l’aire de l’un de ces
triangles, c’est-à-dire :
\[ 6\left(\frac{4\times 2\sqrt{3}}{2}\right)=24\sqrt{3}\,\text{cm}^2. \]

La solution est $24\sqrt{3}$ cm$^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • HARVEPINO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mai 2020, 1er défi

    le 1er mai à 08:51, par ROUX

    39 n’est pas le plus petit possible : c’est 9 le plus petit possible qui a 1,3,9.
    9 est divisible par 9 et aussi par 3 ; 9*8 est en plus divisible par 8, 4, 2 et 6 ; 9*8*7*5 est en plus divisible par 7 et 5.
    2250.

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    • Mai 2020, 1er défi

      le 1er mai à 08:53, par ROUX

      Erreurs de frappes 2520

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    • Mai 2020, 1er défi

      le 1er mai à 08:58, par ROUX

      Erreurs de frappes 2520.

      L’ajout de 5 a aussi permis la division par 10 pour le 0.
      La division par 1 va de soi.

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      • Mai 2020, 1er défi

        le 1er mai à 09:30, par drai.david

        Les premières puissances de de 3 sont 1, 3, 9, 27, 81...
        27 est donc divisible par 1, 3, 9 et 27 (qui se termine par 7).
        54 est donc divisible par 2, 6, 18 (qui se termine par 8) et 54 (qui se termine par 4).
        Il nous manque un diviseur qui se termine par 0 et un diviseur qui se termine par 5.
        Il suffit donc de multiplier 54 par 5.
        Ainsi, 270 est divisible par 10, 1, 2, 3, 54, 5, 6, 27, 18 et 9.

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        • Mai 2020, 1er défi

          le 1er mai à 10:09, par ROUX

          Ah oui !

          Ah zut !

          Me concentrer mieux ;-)

          Répondre à ce message
        • Mai 2020, 1er défi

          le 1er mai à 11:34, par Al_louarn

          Il reste à montrer qu’on ne peut pas faire mieux que $n=270$. En voici une preuve mais peut-être peut-on faire plus concis ?

          On sait que $n$ a des diviseurs pairs donc $n$ est pair.
          On sait que $n$ a un diviseur finissant par $5$ donc $n$ est multiple de $5$.
          Ainsi $n$ est multiple de $PPMC(2,5)=10$.
          Supposons que $n<270$
          Alors $n=10m$ avec $m \leq 26$.
          Comme $n$ a un diviseur $a$ finissant par $7$, $a$ est premier avec $10$ donc $a$ divise $m$.
          Alors $a \leq 26$ donc $a=7$ ou $a=17$.
          Comme $n$ a un diviseur $b$ finissant par $9$, $b$ est premier avec $10$ donc $b$ divise $m$.
          Alors $b \leq 26$ donc $b=9$ ou $b=19$.
          Ainsi $m$ est multiple de $PPMC(a,b)$, mais on voit que pour chaque combinaison $a$ et $b$ sont premiers entre donc en fait $PPMC(a,b)=ab$.
          Alors on obtient au mieux $PPMC(a,b) \geq 7 \times 9$, et donc $m \geq 63$. Contradiction.

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          • Mai 2020, 1er défi

            le 1er mai à 21:11, par FDesnoyer

            Bonsoir,

            n’étant pas particulièrement brillant en arithmétique, j’ai fait tourner un programme python et il m’a fait remarquer que 108 convient :
            en effet la liste des diviseurs de 108 est [2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 1, 108]
            qui s’écrit avec les chiffres demandés,

            dans votre raisonnement, vous multipliez par 5, pourquoi ? 2*54=108 ergo le 0 qui manquait

            Il doit y avoir une faille dans votre raisonnement mais je ne suis pas en mesure de la retrouver,

            bien cordialement,

            F. Desnoyer

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            • Mai 2020, 1er défi

              le 1er mai à 21:14, par FDesnoyer

              Re-bonsoir :

              pourquoi $n$ doit-il avoir un diviseur se terminant par 5 ?
              54|108 et donc le 5 y est :-)

              Votre idée de partir sur les puissances de 3 est excellente, comment l’avez-vous eue ?

              Bien cordialement,

              F.Desnoyer

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              • Mai 2020, 1er défi

                le 2 mai à 00:21, par drai.david

                Bonsoir,
                tout d’abord 108 ne convient pas car ce sont les chiffres des unités des diviseurs qui nous intéressent. Donc, notre nombre doit être multiple de 5, afin d’obtenir un diviseur se terminant par un 5.
                Par ailleurs, pour les puissances de 3, je suis bêtement parti du nombre $2^3\times 3^2\times 5\times 7$ qui répond au critère (puisque divisible par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10) mais n’est pas le plus petit.
                Ensuite, je me suis aperçu que le 7 était inutile car il pouvait être avantageusement remplacé par un 3, puisque $3^3=27$ se termine par un 7.
                Enfin, 27 étant divisible par 1, 3, 9 et 27 alors 54 sera en plus divisible par 2, 6, 18 et 54.
                C’est alors qu’on constate que l’on peut remplacer $2^3$ par 2. Reste à ajouter le 5.
                Bien à vous.

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            • Mai 2020, 1er défi

              le 1er mai à 23:06, par ROUX

              Le défi, que j’ai raté, portait sur les chiffres des unités des diviseurs ;-)

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              • Mai 2020, 1er défi

                le 2 mai à 08:28, par FDesnoyer

                Mince j’ai encore lu trop vite,

                j’avoue que j’ai cherché « ma » version mais avec les diviseurs premiers, la réponse n’est pas évidente et m’a surtout obligé à approfondir mes tests de primalité informatiques.

                Merci de m’avoir éclairé,

                F.D.

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  • Mai 2020, 1er défi

    le 1er mai à 11:20, par Gérard JONEAUX

    Un nombre conviendrait, c’est 9 !
    mais il y a certainement plus court.
    par exemple 2*9=18, ce qui nous économise le nombre 8
    2*7=14 nous économise le nombre 4
    3*3=9 nous économise 3
    2*5=10 nous économise 10
    il reste 2*5*7*9 = 270
    270/1 = 270
    270/270 = 1
    270/135 = 2
    270/90 = 3
    270/ 6 = 45
    270/45 = 6
    270/10 = 27
    270/15 = 18
    270/30 = 9
    Mais rien ne prouve, avec ce raisonnement, que c’est la solution la plus courte, alors bon courage !

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