Commentaire sur l'article

• Mai 2020, 2e défi

  le 8 mai 2020 à 08:11, par mesmaker

  Après la résolution d’une équation du troisième degré et un peu de calcul, je trouve comme réponse 7.

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• Mai 2020, 2e défi

  le 8 mai 2020 à 09:06, par François

  $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab +b^2)$, donc la relation, pour $a +b \neq 0$ ce qui est le cas ici $a$ et $b$ sont des entiers non nuls, devient $a^2 + b^2 = 3ab$, en élevant au carré, on obtient $a^4 +b^4 =7a^2b^2$. En divisant par $a^2b^2$ on a $\frac {a^4 + b^4} {a^2b^2} = \frac {a^2} {b^2} +\frac {b^2} {a^2} =7$.

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• Mai 2020, 2e défi

  le 8 mai 2020 à 20:54, par Al_louarn

  Très élégant !
  Juste une petite coquille sans conséquence : vous écrivez que $a$ et $b$ sont des entiers non nuls alors que l’énoncé demande simplement des nombres strictement positifs.
  Et en fait ils ne peuvent pas être entiers simultanément car leur rapport est irrationnel. En effet, partant de $a^2 + b^2 = 3ab$ on obtient $\dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{a}=3$.
  Décidons par exemple que $a \leq b$ et posons $x=\dfrac{b}{a}$, pour avoir $x \geq 1$.
  Alors $\dfrac{1}{x}+ x=3$, et on arrive à l’équation $x^2 - 3x + 1 =0$, qui admet deux solutions dont la seule dépassant $1$ est $x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}=\phi + 1 = \phi^2$, où $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ est le fameux nombre d’or.
  On retrouve d’ailleurs la pente de la droite $d_2$ donnée par drai.david

  Au passage on a obtenu de jolies propriétés de $\phi$ :
  $\phi^{-2} + \phi^2 = 3$, et $\phi^{-4} + \phi^4 = 7$.
  Que donne la fonction $f(n) = \phi^{-n} + \phi^n$ en général ?
  $f(0)=2$
  $f(1)=\sqrt{5}$
  $f(2)=3$
  $f(3)=2\sqrt{5}$
  $f(4)=7$
  $f(5)=5\sqrt{5}$
  ...

  En fait pour tout entier naturel $n$ :
  $f(2n)=L(2n)$
  $f(2n+1)=F(2n+1)\sqrt{5}$
  où $F$ est la célèbre suite de Fibonacci, définie par :
  $F(0)=0$, $F(1)=1$, $F(n+2)=F(n+1) + F(n)$,
  et $L$ est la suite des nombres de Lucas commençant à $2$, une variante de la précédente :
  $L(0)=2$, $L(1)=1$, $L(n+2)=L(n+1) + L(n)$

  On obtient facilement les formules ci-dessus à partir de celle de Binet :
  $F(n)=\dfrac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}}$
  et de son analogue pour Lucas :
  $L(n)=\phi^n + (-\phi)^{-n}$

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• Mai 2020, 2e défi

  le 8 mai 2020 à 21:51, par François

  Merci pour votre remarque.
  J’avais une autre façon de résoudre le problème :
  $\frac {a} {b}$ et $\frac {b} {a} $ sont les deux racines distinctes de l’équation $x^2 -3x +1 = 0$ (distinctes car sinon $a = b$). Donc
  $\frac {a^2} {b^2} + \frac {b^2} {a^2} = \left ( \frac {a} {b} + \frac {b} {a} \right )^2 -2 = 9 - 2 = 7$

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• Mai 2020, 2e défi

  le 25 août 2020 à 09:44, par zahlen

  donc quelle est la valeur de a^3/b^3+b^3/a^3 ?
  merci

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• Mai 2020, 2e défi

  le 25 août 2020 à 11:18, par François

  On a $A^3 + B^3 = (A + B)^3 - 3AB(A +B)$. Ici en prenant $A = \frac {a} {b}$ et $B = \frac {b} {a}$ , $A + B =3$ et $AB = 1$ d’où $\frac {a^3} {b^3} + \frac {b^3} {a^3} = 3^3 - 3*3 =18$

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• Mai 2020, 2e défi

  le 8 mai 2020 à 12:59, par drai.david

  Plus généralement, l’équation $x^3+y^3=2xy(x+y)$ a pour solution la réunion de trois droites :
  $d_1:y=-x$
  $d_2:y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}x$
  $d_3:y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}x$

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