Un défi par semaine

Mai 2020, 2e défi

Le 8 mai 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 19

Si $a$ et $b$ sont des nombres strictement positifs et si $a^3+b^3=2ab(a+b)$, combien vaut \[\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\,?\]

Solution du 1er défi de mai :

Enoncé

Le nombre $108$ satisfait les conditions car parmi ses diviseurs on trouve $1, 9, 27, 36, 54$ et $108$, qui comportent toutes les chiffres $0,1,2,\dots, 9$. Voyons pourquoi c’est le plus petit nombre avec la propriété désirée.

Notons $C(n)$ l’ensemble des chiffres des diviseurs de $n$, et soit $A = \{\, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89\, \}$. Monstrons d’abord que $n$ doit avoir au moins trois chiffres. En effet, si $n$ était plus petit que $100$ alors, puisque $0$ doit appartenir à $C(n)$, le nombre $n$ devrait nécessairement être un multiple de $10$. Cependant, $9$ n’appartient pas à $C(n)$ pour $n = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70$ et $80$, car ces nombres ne sont pas divisibles par aucun élément de $A$. D’autre part, $7$ n’appartient pas à $C(90)$. Donc, $n$ doit avoir au moins trois chiffres.

Notons finalement que $9$ n’appartient pas non plus à $C(n)$ pour $n = 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106$ et $107$, car ces nombres ne sont divisibles ni par un élément de $A$ ni par $90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98 $ et $99$.

La solution est donc $108$.

Solution proposée par Gonzalo Martínez.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2020, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • HARVEPINO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mai 2020, 2e défi

    le 8 mai à 08:11, par mesmaker

    Après la résolution d’une équation du troisième degré et un peu de calcul, je trouve comme réponse 7.

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  • Mai 2020, 2e défi

    le 8 mai à 09:06, par François

    $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab +b^2)$, donc la relation, pour $a +b \neq 0$ ce qui est le cas ici $a$ et $b$ sont des entiers non nuls, devient $a^2 + b^2 = 3ab$, en élevant au carré, on obtient $a^4 +b^4 =7a^2b^2$. En divisant par $a^2b^2$ on a $\frac {a^4 + b^4} {a^2b^2} = \frac {a^2} {b^2} +\frac {b^2} {a^2} =7$.

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    • Mai 2020, 2e défi

      le 8 mai à 20:54, par Al_louarn

      Très élégant !
      Juste une petite coquille sans conséquence : vous écrivez que $a$ et $b$ sont des entiers non nuls alors que l’énoncé demande simplement des nombres strictement positifs.
      Et en fait ils ne peuvent pas être entiers simultanément car leur rapport est irrationnel. En effet, partant de $a^2 + b^2 = 3ab$ on obtient $\dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{a}=3$.
      Décidons par exemple que $a \leq b$ et posons $x=\dfrac{b}{a}$, pour avoir $x \geq 1$.
      Alors $\dfrac{1}{x}+ x=3$, et on arrive à l’équation $x^2 - 3x + 1 =0$, qui admet deux solutions dont la seule dépassant $1$ est $x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}=\phi + 1 = \phi^2$, où $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ est le fameux nombre d’or.
      On retrouve d’ailleurs la pente de la droite $d_2$ donnée par drai.david

      Au passage on a obtenu de jolies propriétés de $\phi$ :
      $\phi^{-2} + \phi^2 = 3$, et $\phi^{-4} + \phi^4 = 7$.
      Que donne la fonction $f(n) = \phi^{-n} + \phi^n$ en général ?
      $f(0)=2$
      $f(1)=\sqrt{5}$
      $f(2)=3$
      $f(3)=2\sqrt{5}$
      $f(4)=7$
      $f(5)=5\sqrt{5}$
      ...

      En fait pour tout entier naturel $n$ :
      $f(2n)=L(2n)$
      $f(2n+1)=F(2n+1)\sqrt{5}$
      où $F$ est la célèbre suite de Fibonacci, définie par :
      $F(0)=0$, $F(1)=1$, $F(n+2)=F(n+1) + F(n)$,
      et $L$ est la suite des nombres de Lucas commençant à $2$, une variante de la précédente :
      $L(0)=2$, $L(1)=1$, $L(n+2)=L(n+1) + L(n)$

      On obtient facilement les formules ci-dessus à partir de celle de Binet :
      $F(n)=\dfrac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}}$
      et de son analogue pour Lucas :
      $L(n)=\phi^n + (-\phi)^{-n}$

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      • Mai 2020, 2e défi

        le 8 mai à 21:51, par François

        Merci pour votre remarque.
        J’avais une autre façon de résoudre le problème :
        $\frac {a} {b}$ et $\frac {b} {a} $ sont les deux racines distinctes de l’équation $x^2 -3x +1 = 0$ (distinctes car sinon $a = b$). Donc
        $\frac {a^2} {b^2} + \frac {b^2} {a^2} = \left ( \frac {a} {b} + \frac {b} {a} \right )^2 -2 = 9 - 2 = 7$

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      • Mai 2020, 2e défi

        le 25 août à 09:44, par zahlen

        donc quelle est la valeur de a^3/b^3+b^3/a^3 ?
        merci

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        • Mai 2020, 2e défi

          le 25 août à 11:18, par François

          On a $A^3 + B^3 = (A + B)^3 - 3AB(A +B)$. Ici en prenant $A = \frac {a} {b}$ et $B = \frac {b} {a}$ , $A + B =3$ et $AB = 1$ d’où $\frac {a^3} {b^3} + \frac {b^3} {a^3} = 3^3 - 3*3 =18$

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  • Mai 2020, 2e défi

    le 8 mai à 12:59, par drai.david

    Plus généralement, l’équation $x^3+y^3=2xy(x+y)$ a pour solution la réunion de trois droites :
    $d_1:y=-x$
    $d_2:y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}x$
    $d_3:y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}x$

    Répondre à ce message

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