Un défi par semaine

Mai 2020, 3e défi

Le 15 mai 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 20

Un carré est divisé en neuf petits carrés égaux. Chaque petit carré est peint en noir ou blanc avec la même probabilité. On fait une rotation du grand carré de $90^{\circ}$ autour de son centre et on peint en noir chaque petit carré se retrouvant à la place d’un carré noir. Quelle est la probabilité que le grand carré soit tout noir à l’issue de cette opération ?

Solution du 2e défi de mai :

Enoncé

Pour toute paire de nombres $a$ et $b$, on a l’égalité $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Or par hypothèse, $a^3+b^3=2ab(a+b)$. Donc, comme $a+b\neq 0$, on en déduit $a^2-ab+b^2=2ab$ et donc $a^2+b^2=3ab$.

En divisant par $ab$, on obtient $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}= 3$.

En élevant au carré, il vient $\left (\frac{a}{b}\right )^2+ 2+\left (\frac{b}{a}\right )^2=9$, donc $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=7$.

La solution est $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}=7$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2020, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • HARVEPINO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mai 2020, 3e défi

    le 15 mai à 09:04, par Al_louarn

    Pour que le grand carré soit tout noir après l’opération, il faut et il suffit que chaque petit carré blanc soit envoyé sur un noir par la rotation de $-90$ degrés.
    Numérotons les petits carrés de $1$ à $9$ en parcourant le grand carré de gauche à droite et de haut en bas. Alors la rotation se ramène à la permutation sur l’ensemble des entiers de $1$ à $9$ formée des $3$ cycles $(1,3,9,7),(2,6,8,4),(5)$.
    Pour le cycle $(5)$ il n’y a qu’une configuration favorable, celle où le carré central $5$ est noir : $(N)$
    Pour un cycle d’ordre $4$ il y a en tout $7$ configurations favorables :

    • $1$ avec $0$ carré blanc : $(N,N,N,N)$
    • $4$ avec $1$ carré blanc : $(B,N,N,N),(N,B,N,N),(N,N,B,N),(N,N,N,B)$
    • $2$ avec $2$ carrés blanc : $(B,N,B,N),(N,B,N,B)$
    • $0$ avec plus de $2$ carrés blancs car chaque blanc est suivi par un noir dans le cycle.
      Comme les cycles sont indépendants les uns des autres, nous avons au total $1 \times 7 \times 7 = 49$ configurations favorables.
      Il y a au total $2^9=512$ configurations du grand carré donc la probabilité qu’il soit tout noir après l’opération est $\dfrac{49}{512}$, soit environ $0,0957$, un peu moins d’une chance sur dix.
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    • Mai 2020, 3e défi

      le 16 mai à 19:12, par drai.david

      Si on note $n$ le côté du carré et $P(n)$ la probabilité correspondante, on obtient informatiquement :
      $P(1)=\frac{7^0}{2^{(1^2)}}=\frac{1}{2}$
      $P(2)=\frac{7^1}{2^{(2^2)}}=\frac{7}{16}$
      $P(3)=\frac{7^2}{2^{(3^2)}}=\frac{49}{512}$
      $P(4)=\frac{7^4}{2^{(4^2)}}=\frac{2401}{65536}$
      $P(5)=\frac{7^6}{2^{(5^2)}}=\frac{117649}{33554432}$
      Au-delà, mon algorithme devient inopérant. Du coup, je ne sais pas trop quoi conjecturer...
      On a clairement pour tout $n>0$ : $P(n)=\frac{7^{u_n}}{2^{(n^2)}}$.
      Mais je ne sais pas quoi penser de l’expression de $u_n$.
      Quant à une preuve mathématique, je n’en ai aucune idée...
      Auriez-vous une piste ? Une généralisation de votre raisonnement à un carré de taille $n$ quelconque ?

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    • Mai 2020, 3e défi

      le 19 mai à 23:56, par drai.david

      Bon, avec un programme faisant intervenir de l’aléatoire à partir de $n=6$, j’ai pu monter jusqu’à $P(9)$. Ainsi, je trouve :
      $u_1=0$ , $u_2=1$ , $u_3=2$ , $u_4=4$ , $u_5=6$ , $u_6=9$ , $u_7=12$ , $u_8=16$ et $u_9=20$.
      Je serais tenté de conjecturer deux cas, suivant la parité de $n$ :
      $u_{2k}=k^2$ et $u_{2k+1}=k(k+1)$.
      Mais rien n’est moins sûr...

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      • Mai 2020, 3e défi

        le 22 mai à 00:06, par Al_louarn

        Bonsoir
        Ma méthode se généralise très bien pour $n$ quelconque, et permet de démontrer vos formules. Il suffit de voir que mis à part le carré central, qui n’existe que pour $n$ impair, tout autre petit carré appartient à un cycle de longueur $4$. En effet si on part d’un carré quelconque non central, au bout de $4$ rotations on revient au point de départ, en ayant parcouru $4$ carrés différents. Comme je l’ai déjà montré il y a $7$ configurations pour un cycle d’ordre $4$. Pour colorier de façon convenable le grand carré, on choisit pour chacun de ces cycles un des $7$ coloriages convenables. Et l’on peint le carré central en noir s’il y en a un. Au total on a donc $7^{u_n}$ combinaisons possibles, où $u_n$ est simplement le nombre de cycles d’ordre $4$ dans un grand carré $n \times n$. Comme les cycles forment une partition du grand carré, on obtient $u_n$ en divisant le nombre total de petits carrés $n^2$ par $4$ quand $n$ est pair. Quand $n$ est impair il faut d’abord retirer le carré central avant de diviser par $4$. Ainsi on obtient bien :
        $u_{2k} = \dfrac{(2k)^2}{4}=k^2$
        $u_{2k+1} = \dfrac{(2k+1)^2 - 1}{4}= \dfrac{4k^2 + 4k + 1 - 1}{4} =k(k+1)$

        En fait, en notant $[x]$ la partie entière de $x$, on peut condenser ces formules en une seule :
        $u_{n} = [\frac{n}{2}][\frac{n+1}{2}]$

        Et finalement :
        \[P(n) = \dfrac{7^{[\frac{n}{2}][\frac{n+1}{2}]}}{2^{(n^2)}}\]

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        • Mai 2020, 3e défi

          le 22 mai à 21:16, par drai.david

          Merci beaucoup pour ces explications : c’est super clair !

          Répondre à ce message
  • Mai 2020, 3e défi

    le 16 mai à 13:51, par eloidrai

    J’ai résolu ce problème à l’aide de l’informatique et du langage Python et des opérateurs bit-à-bit. C’est assez sauvage mais ça marche bien.

    def pivoter(n) :    #Renvoie le 1er bit en partant de la droite (qui représente le centre) suivi des 8 autres auxquels on a appliqué une rotation circulaire"
        c = n % 256
        return (n & 256) | (c >> 2) | ((c << 6) % 256)
    

    c = 0 # Le compteur
    for i in range(512) :
    if (i | pivoter(i)) == 511 : # Si les 9 bits sont activés en ajoutant la rotation
    c+=1

    print("{} cas, soit {} % des cas".format(c, c/512*100)) # Nombre de cas favorables et pourcentage

    Résultat : 49 cas, soit 9.5703125 % des cas
    Temps d’exécution sur ma machine : 0.0007 secondes

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  • Mai 2020, 3e défi

    le 18 mai à 11:37, par eloidrai

    J’ai résolu ce problème à l’aide de l’informatique et du langage Python.

    def pivoter(n) :        # Renvoie le 1er bit en partant de la droite (qui représente le centre) suivi des 8 autres auxquels on a appliqué une permutation circulaire
        c = n % 256
        return (n & 256) | (c >> 2) | ((c << 6) % 256)
    

    c = 0 # Le compteur
    for i in range(512) :
    if (i | pivoter(i)) == 511 : # Si les 9 bits sont activés en ajoutant la rotation
    c+=1

    print("{} cas, soit {} % des cas".format(c, c/512*100)) # Nombre de cas favorables et pourcentage

    Temps d’exécution :  0.0005 s
    Résultat : 49 cas, soit 9.5703125 % des cas

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  • Mai 2020, 3e défi

    le 19 mai à 09:55, par bali

    Salut,

    $n$ impair : $n = 2 × k + 1$
    Pour chaque case du rectangle vert, j’écris la liste des quatre couleurs obtenues par rotations successives de 90° dans le sens des aiguilles d’une montre. $BBNN$ par exemple sur l’illustration.
    Pour qu’une liste devienne toute noire après une rotation de $90°$, il ne faut pas qu’elle comporte deux $B$ consécutifs (ou en début et en fin). Un décompte donne neuf telles listes. La probabilité que la liste soit toute noire après rotation vaut donc $1 − \dfrac{9}{16}$ c’est-à-dire $\dfrac{7}{16}$.
    Pour que le carré soit tout noir après rotation, il faut que chaque liste obtenu à partir du rectangle vert le soit et le carré central aussi, d’où une probabilité de $\dfrac{1}{2} ×\left(\dfrac{7}{16}\right)^{k(k+1)}$.

    $n$ pair : $n = 2 × k$
    Même raisonnement … probabilité de $\left(\dfrac{7}{16}\right)^{k^2}$

    Bonne journée !

    Document joint : carres-3.png
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