Un défi par semaine

Mai 2020, 4e défi

Le 22 mai 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 21

Dans le plan cartésien on dessine toutes les lignes droites passant par le point $(0,0)$ et les points de coordonnées $(x,y)$ où $1\leq x \leq 10$ et $1\leq y \leq 10$ sont des nombres entiers.

Combien de droites distinctes dessine-t-on ? (par exemple, la droite passant par $(1,2)$ est la même que celle qui passe par $(2,4)$).

Solution du 3e défi de mai :

Enoncé

Considérons tout d’abord les quatre petits carrés situés dans les coins. Il y a $2^4=16$ colorations initiales différentes de ces quatre petits carrés, toutes équiprobables. Analysons les quatre cas possibles :

  • Tous les coins sont noirs. Il y a alors une seule possibilité de coloration initiale des coins, à savoir $NNNN$, et après l’opération, tous sont noirs.
  • Il y a un coin blanc. Il y a alors quatre possibilités de coloration initiale des coins, à savoir $BNNN$, $NBNN$, $NNBN$ et $NNNB$. Après l’opération, les quatre coins sont noirs puisque le coin blanc se retrouve nécessairement sur un coin noir et est donc peint en noir.
  • Il y a deux coins blancs. Il y a alors six possibilités de coloration initiale des coins. Dans les cas, $NBNB$ et $BNBN$, tous les coins deviennent noirs après l’opération et dans les cas $BBNN$, $NNBB$, $NBBN$ et $BNNB$, un des petits carrés reste blanc.
  • Il y a trois coins blancs. Il y a alors quatre possibilités de coloration initiale des coins et après l’opération, deux coins restent blancs.
  • Tous les coins sont blancs : une seule possibilité et évidemment, dans ce cas, tous les coins restent blancs.

Au final, sur les $16$ colorations initiales possibles des coins, tous
les coins deviennent noirs dans sept cas, ce qui nous donne une
probabilité de $\frac{7}{16}$. De même, pour les quatre autres petits
carrés situés sur le bord du grand carré, ils deviennent tous noirs
avec une probabilité de $\frac{7}{16}$. Quant au petit carré central,
il ne bouge pas après la rotation. Il sera donc noir après l’opération
si et seulement si il l’était au début, c’est-à-dire avec une
probabilité de $\frac{1}{2}$. Au total, la probabilité que l’intégralité du grand carré devienne noire estde $\frac{1}{2}\times(\frac{7}{16})^2=\frac{49}{512}$.

La solution est $\dfrac{49}{512}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2020, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

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  • HARVEPINO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Mai 2020, 4e défi

    le 22 mai à 09:28, par Elrigo

    *en tout*, et non en doute...
    un lapsus...

    Répondre à ce message

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