Un défi par semaine

Mai 2020, 5e défi

Le 29 mai 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 22

Un coffre-fort nécessite une combinaison de trois chiffres pour être ouvert. Sachant que la somme de tous les chiffres est $10$, quel est le nombre maximal de tentatives qu’il faudra faire pour être certain de parvenir à ouvrir le coffre.

Solution du 4e défi de mai :

Enoncé

Observons que la droite passant par $(0,0)$ et $(1,1)$ passe aussi par les points $(2,2)$, $(3,3)$, $\ldots$, $(10,10)$, puisque pour chacun de ces points, la droite a la même pente.

Pour compter toutes les lignes droites, il s’agit donc de compter toutes les pentes possibles, c’est-à-dire toutes les valeurs possibles de $\frac{y}{x}$ où $x$ et $y$sont des nombres entiers compris entre $1$ et $10$. Il s’agit
donc de compter les couples $(x,y)$ où $x$ et $y$ sont premiers entre eux.

Comptons cas par cas :

  • Si $x=1$, alors $1\leq y\leq 10$ et nous avons dix droites distinctes : les droites dont les pentes sont des nombres entiers.
  • Si $x=2$, alors $y$ doit être un nombre impair, ce qui nous donne cinq couples $(2,y)$ possibles.
  • Si $x=3$, alors $y$ doit être différent de $3$, $6$ et $9$, ce qui nous donne sept couples.
  • Si $x=4$, alors $y$ doit être impair : cinq possibilités.
  • Si $x=5$, alors $y$ doit être différent de $5$ et $10$ : huit possibilités.
  • Si $x=6$, alors $y$ peut être égal à $1$, $5$ ou $7$ : trois possibilités.
  • Si $x=7$, alors $y$ ne peut pas être égal à $7$ : neuf possibilités.
  • Si $x=8$, alors $y$ doit être un nombre impair : cinq possibilités.
  • Si $x=9$, alors $y$ doit être différent de $3$, $6$ et $9$ : sept possibilités.
  • Si $x=10$, alors $y$ peut valoir $1$, $3$, $7$ ou $9$ : quatre possibilités.

Par conséquent, il y a au total $10+ 5+7+5+8 +3+9+5+7+4=63$ droites distinctes.

La solution est 63 droites.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2020, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une -
  • HARVEPINO / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Mai 2020, 5e défi

    le 29 mai à 11:47, par François

    petite erreur dans la formule de la somme $ 9+ 10 + 9 + \dots + 2 = \frac {10*11} {2} + 8 = 63$.

    Répondre à ce message

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