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• Mai 2021, 2e défi

  le 14 mai 2021 à 13:30, par Mario

  Commençons par dénombrer les rectangles ayant des sommets violets :
  il y a uniquement cinq façons de choisir le sommet supérieur gauche, ce sont les 5 points situés dans le quadrant supérieur gauche, que je numérote :
  1 $\:$ 2
  $\:$ 3
  4 $\:$ 5
  Le sommet 1 permet d’obtenir 4 rectangles.
  Le sommet 2 permet d’obtenir 2 rectangles.
  Le sommet 3 permet d’obtenir 1 rectangle.
  Le sommet 4 permet d’obtenir 2 rectangles.
  Le sommet 5 permet d’obtenir 1 rectangle.
  Ce qui fait un total de 10 rectangles ayant des sommets violets.
  $\\$

  Concernant les sommets bleus, il y a 4 façons de choisir le sommet supérieur droit, parmi les 4 points bleus du quadrant supérieur gauche, que je numérote :
  $\:$ 1
  2 $\:$ 3
  $\:$ 4
  Le sommet 1 permet d’obtenir 2 rectangles.
  Le sommet 2 permet d’obtenir 2 rectangles.
  Le sommet 3 permet d’obtenir 1 rectangle.
  Le sommet 4 permet d’obtenir 1 rectangle.
  Ce qui fait donc un total de 6 rectangles ayant des sommets bleus.
  $\\$

  Finalement, il y a 16 rectangles possédant des sommets de couleurs identiques.

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• Mai 2021, 2e défi

  le 14 mai 2021 à 17:59, par Christophe Boilley

  Le choix d’un tel rectangle revient à choisir deux numéros de lignes distincts de même parité et deux numéros de colonne de même parité. Dans l’intervalle ⟦1, 2n⟧, il y a 2×(2 parmi n) = n(n−1) choix de deux nombres distincts de même parité, et dans l’intervalle ⟦1, 2n+1⟧ il y en a (2 parmi n) + (2 parmi n+1) = n².

  On retrouve donc ici avec 2n+1=5 lignes et autant de colonnes, n²×n² = 16 rectangles monochromes.

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• Mai 2021, 2e défi

  le 19 mai 2021 à 22:10, par drai.david

  Et si l’on leur ajoute ceux dont les côtés ne sont pas déjà tracés (c.à.d. les rectangles obliques), on en trouve 38 au total.
  Et là, pour trouver une formule explicite dans une grille de côté n, c’est une autre paire de manches !

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• Mai 2021, 2e défi

  le 20 mai 2021 à 23:17, par Christophe Boilley

  Il y a peut-être moyen de s’en sortir en utilisant le centre du rectangle, noté C. Soit il se situe au centre d’un carré blanc, soit il se situe sur un point de couleur. Un rectangle est alors déterminé par deux points de même couleur et à égale distance de ce centre, sans être diamétralement opposés, dans le plus grand carré de centre C à l’intérieur de la figure.

  Il y a des triplets pythagoriciens qui se cachent là-dessous.

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