Un défi par semaine

Mai 2022, 4e défi

El 27 mayo 2022  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : «Les maths, une aventure humaine».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 21

Parmi les entiers $x$ tels que $1 \leq x \leq 100$, combien y en a-t-il tels que $x$ divise $(x+20)(x+5)$ ?

Solution du 3e défi de mai 2022 :

Enoncé

Réponse : $700$.

Quelle que soit la répartition choisie, on a $a+b+c+d+e = 3+5+9+11+25 = 53$, et la quantité à maximiser est $(a+b+c+d)e = (53-e)e$.

Si l’on connaît cette notion, on reconnaît là un polynôme du second degré de coefficient dominant négatif, dont les racines sont $e = 0$ et $e = 53$. Il s’ensuit que la quantité est d’autant plus grande que $e$ est proche de la moyenne $\frac{0 + 53}2 = 26{,}5$, donc, dans notre cas, qu’elle est maximale en $e = 25$.

Sinon, il n’est pas difficile de calculer les cinq valeurs possibles, en fonction du choix de $e$, et de constater que la plus grande est $(53 - 25) \times 25 = 700$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mai 2022, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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  • Mai 2022, 4e défi

    le 27 de mayo à 09:43, par Niak

    $(x+20)(x+5) = 20\cdot5 \bmod x$ donc les solutions $x\geq 1$ sont exactement les diviseurs de $100=2^2\cdot5^2$, d’où $(2+1)\cdot(2+1) = 9$ solutions.

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