Un défi par semaine

Mai, 2ème défi

Le 9 mai 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Les côtés $AD$ et $BC$ d’un rectangle $ABCD$ mesurent $21\,cm$. $F$ et $E$ sont des points sur les côtés $BC$ et $CD$, respectivement, tels que $AB=AE$, $CE=CF$ et $FB=FE$. Combien mesure $AB$ ?

Solution du 1er défi de Mai

Enoncé

La réponse est 120.

On sait que $8\otimes 5=5\otimes 8=5\otimes (5+3)$ et $\frac{5\otimes (5+3)}{5\otimes 3}=\frac{8}{3}$. Maintenant, $5\otimes 3=3\otimes 5=3\otimes (3+2)$, de sorte que $\frac{3\otimes (3+2)}{3\otimes 2}=\frac{5}{2}$. De façon analogue on a $3\otimes 2=2\otimes 3=2\otimes (2+1)$, d’où $\frac{2\otimes (2+1)}{2\otimes 1}=\frac{3}{1}=3$. Finalement, $2\otimes 1=1\otimes 2=1\otimes (1+1)$ et $\frac{1\otimes (1+1)}{1\otimes 1}=\frac{2}{1}=2$. Par conséquent, on obtient

$\frac{8\otimes 5}{5\otimes 3} = \frac{8}{3}$

$\frac{5\otimes 3}{3\otimes 2} = \frac{5}{2}$

$\frac{3\otimes 2}{2\otimes 1} = 3$

$\frac{2\otimes 1}{1\otimes 1} = 2,$

ce qui donne

$8\otimes 5 = \frac{8}{3}\times (5\otimes 3)=\frac{8}{3}\times\frac{5}{2}\times (3\otimes 2)$

$= \frac{8}{3}\times \frac{5}{2}\times 3\times (2\otimes1)$

$= \frac{8}{3}\times\frac{5}{2}\times3\times2\times (1\otimes 1).$

Donc, $8\otimes 5=40\times (1\otimes 1)$. Comme $1\otimes 1=1+2=3$, il s’ensuit que $8\otimes 5=3\times 40=120$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La sphère cornue d’Alexander, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Mai, 2ème défi

    le 9 mai 2014 à 07:43, par Daniate

    Après avoir trouvé la réponse algébriquement, j’ai pensé qu’une méthode géométrique était possible. Elle existe et est bien plus élégante.

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  • Mai, 2ème défi

    le 11 mai 2014 à 22:53, par Pierre stro

    Bonsoir, oui en effet après avoir cherché et trouvé, je trouve de même la résolution géométrique jolie à voir.

    Répondre à ce message
    • Mai, 2ème défi

      le 12 mai 2014 à 09:21, par Daniate

      Bonjour, il semble que, comme moi, vous appréciez les démonstrations géométriques. Regardez de plus près, si vous le voulez, le milieu de [AF], il possède quelques propriétés intéressantes.

      Répondre à ce message
  • Mai, 2ème défi

    le 12 mai 2014 à 21:15, par Pierre stro

    Bonsoir, j’ai pu vérifier que le milieu de [AF] était intéressant, de plus j’ai remarqué que la droite (AF), étudiée dans le cadre du triangle ABE, porte le nom d’un mathématicien célèbre ...

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  • Mai, 2ème défi

    le 15 mai 2014 à 10:07, par Daniate

    En cette veille de nouveau défi, je donne la réponse : AB=21√ 2, le triangle ACE étant isocèle rectangle. AB=AE et FB=FE impliquent que (AF) est la médiatrice de [BE]. L’angle BEA est droit comme symétrique de l’angle ABC. La somme des angles CEB,BEA,AED permet de conclure.

    Remarques :

    Le rectangle ABCD a le format A4 bien connu aujourd’hui par les imprimantes.

    Le milieu M de [AF] est sur la médiatrice de [EF]. Il est équidistant des points A, B , E, F. Il est a une distance de 21 cm de C et de D. CMD est isocéle rectangle et isométrique de ADE. Le point M permet de découper de façon non triviale le rectangle ABCD en 4 triangle isocèles. Il partage cette propriété avec 5 autres points et avec le centre du rectangle qui fait ce partage de façon triviale.

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  • Mai, 2ème défi

    le 15 mai 2014 à 23:41, par jokemath

    CE=CF, donc le triangle CEF est rectangle isocèle en C, et l’angle CEF mesure 45°.

    AB=AE et FB=FE donc (AF) est la médiatrice de [BE]. Alors l’angle FEA est droit comme symétrique de l’angle FBA (qui est aussi CBA).
    La somme des mesures des angles CEF, FEA et AED étant 180°, on en déduit que l’angle AED mesure 45°, donc le triangle AED est rectangle isocèle en D, et donc AE=AD√2.

    Comme AB=AE, et AD = 21, on trouve AB= 21√2

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  • Mai, 2ème défi

    le 16 mai 2014 à 11:54, par olivier longuet

    Ces énigmes sont un petit plaisir, merci .
    Ce défi me rappelle une autre énigme que certains apprécieront :

    Comment plier une feuille A4 en un minimum de plis, sans dépassement, afin d’obtenir un triangle isocèle d’aire maximale ?

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    • Mai, 2ème défi

      le 22 mai 2014 à 09:41, par Daniate

      Je n’avais pas vu votre message, il est amusant de découvrir que la solution de votre énigme est justement la figure du défi, pliages en AE et en BE, pour un triangle isocèle ABE d’aire moitié de la feuille.

      Répondre à ce message

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Ana Rechtman

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