Un défi par semaine

Mai, 3ème défi

16 mai 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (15)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 20 :

Le nombre $N=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1{,}618033989\ldots$ a la propriété que son inverse est égal à sa partie décimale, ce qui se traduit par
$\frac{1}{N}=0{,}618033989\ldots$. Trouver un autre nombre ayant cette propriété.

Solution du 2ème défi de Mai

Enoncé

La réponse est $21\sqrt{2}$ cm.

Comme $FB=FE$, on conclut que les angles $\widehat{EBF}$ et $\widehat{FEB}$ sont égaux. De façon analogue, l’égalité $AE=AB$ implique $\widehat{BEA}=\widehat{ABE}$, et donc $\widehat{ABF}=\widehat{ABE}+\widehat{EBF}=\widehat{BEA}+\widehat{FEB}=\widehat{FEA}$.

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Comme $\widehat{ABF}=90^\circ$, on a $\widehat{FEA}=90^\circ$. De plus, vu l’égalité $EC=CF$, on obtient $\widehat{CEF}=45^{\circ}$ et par conséquent

$\widehat{AED}=180^{\circ}-\widehat{FEA}-\widehat{CEF}=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ},$

et le triangle $AED$ est isocèle. Par conséquent on a $ED=AD=21\,cm$. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $ADE$, on obtient $AE^2=AD^2+ED^2=2AD^2=2(21)^2$, d’où $AE=21\sqrt{2}\,cm$. Par conséquent, $AB=AE=21\sqrt{2}\,cm$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La sphère cornue d’Alexander, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Mai, 3ème défi

    le 16 mai 2014 à 10:33, par Daniate

    Une infinité de réponses dont la plus petite est 1+√2.

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  • Mai, 3ème défi

    le 16 mai 2014 à 14:22, par Kamakor

    oui, les nombres qui vérifient cette propriété s’écrivent sous la forme ( n+√(n^2+4) ) / 2, avec n∈N

    Répondre à ce message
  • Mai, 3ème défi

    le 16 mai 2014 à 18:27, par Daniate

    Avec, tout de même, n différent de 0.

    Répondre à ce message
    • Mai, 3ème défi

      le 21 mai 2014 à 10:32, par ROUX

      Pourriez-vous nous faire parvenir votre réponse géométrique au défi précédent ? Je vous remercie par avance.

      Répondre à ce message
  • Mai, 3ème défi

    le 21 mai 2014 à 09:18, par ROUX

    Donc, j’écris que N = truc,bidule et 1/N = 0,bidule.
    N - 1/N = truc et truc est un entier.

    Je mets au même dénominateur, qui est N et qui est différent de 0, et j’ai alors : N^2 - 1 = truc.N ou encore N^2 - truc.N -1 = 0.

    Une bonne vieille équation du second degré qui me donne comme solution : N = (truc + (truc^2 + 4)^(1/2))/2.

    Et c’est vrai que pour truc = 1, cela ne marche pas pourtant, la mise en équation ne l’empêche pas...

    Ah mais oui mais 1/N ne peut pas être égale à zéro donc on doit s’interdire tous les nombres dont la partie décimale est nulle et donc forcément, comme avec truc = 0 on a N = 1,0000...

    Mais alors, où a-t-on démontré que aucun des nombres de la forme générale précédente n’a une partie décimale nulle ?

    Il faudrait au moins que (truc^2 +4)^(1/2) soit un entier et que donc (truc^2 + 4) soit égal au carré d’un entier. Ou que la différence de deux carrés d’entiers soit égale à 4. Hum, je prends deux entiers successifs truc et (truc+1) qui me garantissent la plus petite valeur pour la différence de leurs carrés et cette différence est égale à 2.truc+1 qui est impaire et qui ne sera jamais égale à 4.

    D’accord !

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    • Mai, 3ème défi

      le 22 mai 2014 à 10:08, par Daniate

      Bonjour, comme toujours vos variations mathématiques sont réjouissantes.

      Des arguments plus rationnels sont possibles pour démontrer que les nombres (truc^2+4) ne sont pas entiers, mais je complète votre raisonnement. Pour obtenir une valeur paire on peut prendre truc et truc+2 mais alors la différence des carrés est 4truc+4 et comme truc n’est pas égal à 0 la différence ne peut être égale à 4.

      Pour la démonstration géométrique du défi précédent elle a été donnée par 2 d’entre nous dans les messages du défi précédent.

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      • Mai, 3ème défi

        le 22 mai 2014 à 19:02, par ROUX

        Merci !

        De mon côté, je me précipite toujours sur vos solutions, dont l’une était éblouissante, et montrait bien votre amour de la géométrie.

        Encore merci pour toutes (vos démonstrations) !

        Répondre à ce message
  • Mai, 3ème défi

    le 21 mai 2014 à 15:59, par grafton

    Si on prend un rectangle ABDC avec AB=N (entier) et AC=1, et si on appelle 0 et 0’ les milieux respectivement des côtés AB et CD, alors la diagonale 0’B du rectangle OBDO’ a pour longueur L=(RACINE(N*N/4+1).

    Le cercle de centre 0’ et de rayon L coupe le côté CD en un point M. Le segment CM a pour longueur X= N/2+ L.

    Le segment DM a alors pour longueur Y= X-N. Il est facile de vérifier par le calcul que Y=1/X. Nous avons donc X-1/X=N

    N étant un nombre entier, X et 1/X ont donc les mêmes parties décimales, et cela quel que soit l’entier N choisi.

    Répondre à ce message
    • Mai, 3ème défi

      le 22 mai 2014 à 07:35, par ROUX

      Pourriez-vous parachever cette démonstration géométrique par la démonstration géométrique de votre affirmation suivante : Y = 1/X dont je ne réussis pas à trouver la démonstration géométrique ?

      Répondre à ce message
      • Mai, 3ème défi

        le 22 mai 2014 à 11:06, par grafton

        Je n’ai malheureusement pas de démonstration géométrique pure.

        Par construction, nous avons O’M= L et on pose CM= N/2+L=X. De même, toujours par construction, DM= L-N/2.

        1/X= 1/(N/2+L). En multipliant haut et bas par (L-N/2) on obtient

        1/X= (L-N/2), (qui se trouve être la longueur de DM).

        et on constate que X-1/X=N.

        Le seul intérêt de cette méthode est de donner une « visualisation » de X et de 1/X.

        Répondre à ce message
        • Mai, 3ème défi

          le 22 mai 2014 à 12:40, par Daniate

          Seul intérêt peut être, mais capital. C’est pourquoi je me suis permis d’approfondir votre recherche. Sur une droite je porte A et B tels que AB=n (naturel non-nul). Je trace une parallèle d a (AB) à une distance de 1 (comme votre rectangle). La médiatrice de [AB] coupe d en O. Sur le cercle de centre O et de rayon OA je marque C le point diamétralement opposé à B et E le point d’intersection le plus proche de A entre d et le cercle. F est le point d’intersection entre (AB) et (CE) et H est le projeté orthogonal de E sur (AB).

          Le triangle FEB est rectangle en E et le tiangle FEA est isocéle en E. Si on pose HB=N, une relation métrique du triangle rectangle permet de démontrer HE=1/N et comme HE=HA et HB-HA=AB on trouve bien N-1/N=n

          Cette construction contient la figure que vous avez faite mais permet de justifier sans calculs

          La relation métrique utilisée dit que dans tout triangle ABC rectangle en A et de hauteur AH on a HB.HC=HA²

          Répondre à ce message
          • Mai, 3ème défi

            le 22 mai 2014 à 16:24, par grafton

            Pour ma part, je trouve cette démonstration très élégante car elle repose sur de bonnes vieilles constructions à « la règle et au compas » et des raisonnements de bonne géométrie classique. Amusant de transformer un problème de nombres en des raisonnements d’angles et de métrique du triangle rectangle.

            (une petite erreur de frappe facile à voir pour le lecteur : HF= 1/N et HF=HA...si j’ai bien compris la figure !)

            Répondre à ce message
            • Mai, 3ème défi

              le 22 mai 2014 à 18:24, par ROUX

              J’adore cela, effectivement.

              Répondre à ce message
              • Mai, 3ème défi

                le 22 mai 2014 à 23:29, par Daniate

                Et merci surtout d’avoir songé à représenter visuellement un résultat numérique , peut être aussi de n’avoir pas noté ma faute orthographique « la figure que vous avez fait » (sans e)

                Répondre à ce message
            • Mai, 3ème défi

              le 22 mai 2014 à 23:21, par Daniate

              Merci pour la relecture et pour la correction.

              Répondre à ce message

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