Los aficionados a las imágenes fractales en Fractalforum consiguieron una nueva hazaña : después del Mandelbulb, aquí está el Mandelbox, la caja Mandelbrot. Es Tom Lowe quien tuvo la idea de una fórmula tan especial que da nacimiento a este objeto. [1]

Visto desde cierta distancia, esto no parece demasiado interesante. ’’Un bloque de hormigón’’, me decía alguien que lo veía por primera vez. Es necesario mirarlo muy de cerca para apreciar su estructura, que es bastante asombrosa, como las imágenes de acá abajo :

Una receta para un cubo

Esta es la receta, en tres etapas :

Primera etapa. Para un punto $(x,y,z)$ se efectúa primero un plegado :

• si $x>1$ se reemplaza $x$ por $2-x$, y si $x<-1$ se reemplaza $x$ por $-2-x$ ;
• si $y>1$ se reemplaza $y$ por $2-y$, y si $y<-1$ se reemplaza $y$ por $-2-y$ ;
• si $z>1$ se reemplaza $z$ por $2-z$, y si $z<-1$ se reemplaza $z$ por $-2-z$.

La distancia del punto al origen es ahora $R=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Segunda etapa.

• si $0,5 < R \leq 1$, se efectúa una inversión en la esfera de radio $1$ : se reemplaza $x$ por $x/R^2$, $y$ por $y/R^2$ y $z$ por $z/R^2$ ;
• si $R \leq 0,5$, se reemplaza $x$ por $x/0.5^2$, $y$ por $y/0.5^2$ y $z$ por $z/0.5^2$.

Tercera etapa. Se multiplica los nuevos valores de $x$, $y$ y $z$ por un factor $s=2$ y se agrega el valor inicial, es decir, las coordenadas del punto en cuestión. Se recalcula $R$ y se recomienza si el valor es inferior a un cierto límite $L$ (uno se detiene cuando ha hecho un cierto número de iteraciones ; si no, no terminaría nunca). Un tal punto está en el conjunto. Si por el contrario $R>L$, uno se detiene de inmediato y el punto está fuera del conjunto.

Se va a dibujar todos los puntos del espacio para los cuales $R$ queda inferior a $L$ , tal como se hace para dibujar el conjunto de Mandelbrot $z\mapsto z^2+c$ en el plano.

Al parecer que todos esos puntos se encuentran en un cubo cuyas aristas tienen una longitud igual a $12$.

Un cubo con milhojas, lleno de agujeros

Tratemos de comprender un poco mejor lo que ocurre. Olvidémonos primero de la segunda etapa. Si uno efectúa solamente la primera y la tercera etapas sobre los puntos en el plano, (digamos $z=0$) se obtiene la imagen de abajo a la izquierda. Los puntos en un cuadrado con arista de longitud $6$ no son afectados. Todos los puntos fuera de un cuadrado con arista de longitud $12$ sparten al infinito.

Entre esos dos cuadrados se encuentra una zona de ’’milhojas’’. Hay puntos en esta zona para los cuales la iteración sin la segunda etapa da puntos sucesivos que se vuelven periódicos.

Tomemos por ejemplo el punto $(3,1, \, 0, \, 0)$. Se tiene $x>1$ y se reemplaza entonces $x$ por $2-x=-1.1$. Los valores para $y$ y $z$ no cambian. Se obtiene por lo tanto la tercera etapa $-1.1$x$2+3,1=0.9$. Se recomienza : como $0,9<1$, ahora no ocurre nada en la primera etapa. La última etapa da : $0,9$x$2+3,1=4,9$, y se recomienza de nuevo.

Se obtiene sucesivamente :

$-2,7 , \, 4,5 , \, -1,9 , \, 2,9 , \, 1,3 , \, 4,5, \, ...$ El cálculo por lo tanto va a repetir siempre esos cuatro últimos números.

Si se hace el cálculo para el punto $(3,10001, \, 0, \, 0)$ se obtendrá que el valor absoluto crece en cada etapa y que ese punto estará ’’fuera’’ del conjunto.

Como los cálculos para $x$, $y$ y $z$ no dependen uno del otro, se obtiene líneas rectas de puntos que están ’’en’’ el conjunto. En tres dimensiones, el algoritmo -siempre sin la segunda etapa- da un cubo alrededor del cual se encuentran planos, ’’milhojas’’, como en la imagen de arriba a la derecha.

Las cosas se vuelven un poco más complicadas cuando se añade la segunda etapa en el algoritmo. Acá abajo está la imagen en el plano.

La acción de la segunda etapa es crear agujeros esféricos de todos los tamaños. Lo que es importante de saber es que uno está limitado aquí a quince iteraciones.

El cubo que desaparece

Si se dibuja la misma imagen con más iteraciones, esto es lo que ocurre :

Las tres imágenes tienen respectivamente, de izquierda a derecha, $20$, $25$ y $75$ iteraciones. Con más iteraciones, el conjunto desaparece... Aunque ’’desaparecer’’ no es la palabra adecuada : se obtiene una nube de polvo fractal que se vuelve imposible de dibujar.

Si uno permite al algoritmo recorrer un gran número de iteraciones ya no va, por lo tanto, a encontrar el objeto. Su existencia está limitada a menos de veinte iteraciones.

Para dibujar el objeto en 3D, se pide prestado un método de estimación de distancia (vea este artículo) para encontrar los puntos del conjunto. El algoritmo se detendrá cuando la distancia sea más pequeña que un valor elegido. Para un adecuado dibujo del Mandelbox, este valor de distancia corresponde a un número de iteraciones que normalmente es inferior a $20$, lo que explica por qué los dibujos no sufren la transformación a polvo...

Variaciones sobre un cubo

Aquí una vez más una imagen donde se ve bien la estructura de milhojas :

Hay muchas maneras de crear variaciones de Mandelbox. Por ejemplo, se puede elegir otro valor para el radio de la esfera de inversión en la segunda etapa de la receta :

También se puede construir conjuntos de Julia : en lugar de agregar las coordenadas del punto en la tercera etapa del algoritmo, se añade una constante. Aquí está el Mandelbox ’’Julia’’ o el Juliabox para $(-4,-4,4)$ :

Para concluir, aquí hay una película con un espectacular vuelo a través del Mandelbox, realizado por el artista polaco Krzysztof Marczak :

Si hay novedades en Fractalforum, ¡les tendremos al tanto !