Mariposas

Piste verte Le 2 août 2011  - Ecrit par  Michèle Audin
Le 30 juin 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Papillons Voir les commentaires
Lire l'article en  

Es verano, las mariposas aletean y van de flor en flor. En matemáticas, muchas mariposas aletean y van de lema en problema.

Es verano, las mariposas aletean y van de flor en flor. En matemáticas, muchas mariposas aletean y van de lema en problema.

Retrato de esos lepidópteros familiares en las matemáticas y para los matemáticos.

Diario de vacaciones

Esos seres ligeros y populares son convertidos en tema de ejercicios para alumnos de escuelas primarias, como este :

Dos mariposas liban veinte flores en dos minutos. ¿Cuántas flores liban tres mariposas en tres minutos [1] ?

El ’’teorema de la mariposa’’ (cuaderno de borrador)

Esta mariposa ya fue mencionada en este sitio. Les doy aquí una auténtica exclusiva : una fotografía del cuaderno de borrador de un/a matemático/a que se dispone a buscar el problema [2]. Es un problema de geometría ’’elemental’’ (en el sentido que su enunciado solo hace intervenir nociones elementales. Ya es la tercera vez que yo uso la palabra ’’elemental’’ en este artículo...). Aquí la tienen (vea la figura) : AB es una cuerda de un círculo y M es el medio de AB. Se traza otras dos cuerdas PQ y RS que pasan por M. Las rectas PR y QS cortan AB en C y D. El teorema afirma (y es lo que hay que demostrar) que M es el medio de CD.

Les propongo intentarlo un poco... solo para que se den cuenta que no es tan fácil como parece [3].

Ecuaciones

Por aquí y allá se encuentra también la ’’fórmula’’ de la mariposa. A aquellos que gustan de las fórmulas, les dedico estas

\[x(t)=\sin 5t\cos t\qquad y(t)=\sin 5t\cos 4t\]

que describen la curva que se parece —si uno tiene un poco de imaginación— a una mariposa. Y también un poco a la figura que aparece más adelante, que tracé a mano alzada (porque eso permite trampear para acentuar tal o cual aspecto que uno encuentra importante)... en mi computador.

El lema de la mariposa de Zassenhaus

También lleva el nombre de mariposa un teorema de álgebra, precisamente el ’’lema de la mariposa de Zassenhaus’’ [4].

Les aseguro que se puede apreciar la belleza de una fórmula, de un diagrama, sin comprender todos sus detalles. Este lema es un hermoso ejemplo de este hecho [5]. Hay objetos llamados A, B, C, D, y sus relaciones están descritas en este hermoso diagrama :

Evidentemente se puede enunciarlo con palabras : A y C son subgrupos de G, B es un subgrupo normal de A y D de C, por lo tanto... bueno, lo dejo hasta aquí.

La estrella

L'attracteur de Lorenz {JPEG}De todas las mariposas matemáticas, la más conocida es la que ilustra el hecho que una pequeña causa (aquí, el batir de alas de nuestro lepidóptero) puede producir grandes efectos (un tornado, lejos). El título de una famosa conferencia de Lorenz en 1973 era :

El batir de alas de una mariposa en Brasil, ¿puede provocar un huracán en Texas ?

Derivo a los lectores al artículo de Étienne Ghys dedicado al famoso ’’efecto mariposa’’ de Lorenz. Ahí explica cómo una muy pequeña modificación de las ’’condiciones iniciales’’ (como el delicado batir de alas de nuestra mariposa) puede desencadenar consecuencias tan enormes como tornados o huracanes. Él ilustra esta explicación con una hermosa imagen, que reproduzco aquí sin tocarla...

...y cuya extraña similitud con la mariposa no escapará a nadie...

Un último comentario : este batir de alas ha sido tan mediatizado que es citado y mencionado en forma abusiva, como lo señala Fred Vargas en su último libro [6] : uno de los personajes habla de un batir de alas en Nueva York que provoca una explosión en Bangkok, y es llamado al orden :


— Es en Brasil donde la mariposa bate las alas, y es en Texas donde ocurre el tornado.

— ¿Eso cambia algo, Danglard ?

— Sí. A fuerza de las palabras, las teorías más puras se convierten en habladurías. Y no se sabe más de ellas. De la aproximación a la inexactitud, la verdad se disuelve y cede lugar al obscurantismo.

El logo del artículo

Después de todas esas mariposas rojas, volvamos a la mariposa azul que sirve de logo para este artículo. Es tal vez la más matemática de todas las mariposas.

Este logo es, en efecto, también el del Centre de Mathématiques Laurent Schwartz de la École Polytechnique de la Université Paris-Saclay [7]. Este centro de matemáticas fue creado por el matemático Laurent Schwartz (1915—2002).

Algunos matemáticos tienen pasatiempos favoritos, que además son a menudo violines u otros instrumentos musicales, pero que pueden ser más variados.

Por ejemplo, las mariposas. La caza de mariposas y su colección fue muy importante entre las numerosas actividades de Laurent Schwartz [8]. Ls practicó de manera tan profesional como las matemáticas. Además, él cazó mariposas donde quiera que hizo matemáticas, lo que incluye un cierto número de mariposas brasileñas...

Me acuerdo, cuando yo era estudiante, de los fascículos del seminario Goulaouic-Schwartz, en la École Polytechnique, cuya portada se adornaba, en cada sesión, con una nueva mariposa. Ese seminario se llama hoy en día Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications. ¡No dude en hacer clic en esta palabras rojas !

Bueno, suficiente revoloteo... ¡Ahora a trabajar !

Post-scriptum :

La fotografía de Laurent Schwartz se debe a Philippe Lavialle, y pertenece a la École Polytechnique. Se encuentra aquí.

Agradecemos a los relectores cuyos nombres o seudónimos son Jacques Lafontaine, case, Ilies Zidane, Marie Lhuissier, que contribuyeron a mejorar este artículo.

Article original édité par Michèle Audin

Notes

[1No, la respuesta correcta no es ’’treinta’’. Una pregunta intermedia : ¿cuánto liba una mariposa en un minuto ? Un razonamiento muy simple, pero tal vez al alcance de nuestros políticos, si creo las informaciones contenidas en este artículo.

[2La manera en la cual fue dibujada esta figura (en una página de cuaderno de borrador, con un compás, una regla, lápicas de colores diferentes) está destinada a subrayar el rol de las figuras : en una como esta se puede reflexionar, agregarle igualdades de ángulos, destacar triángulos similares, buscar, garabatear, pensar, probar otra cosa... una actividad matemática a la cual no incita necesariamente una figura pulida hecha mediante computación (que habría sido más fácil de elaborar e insertar en este artículo que la que me tomé la molestia de hacer.)

[3La demostración ’’correcta’’ —los lectores de Paisajes Matemáticos comprendieron que se trata de una noción muy subjetiva— se hace sin ningún cálculo... tan pronto cuanto uno es suficientemente ’’inteligente’’ para considerar todas las cónicas que pasan por los cuatro puntos P, Q, R y S.

Esta demostración (para los lectores muy entendidos) está en el bloque desplegable.

El haz de las cónicas que pasan por las rectas P, Q, R y S es generado por la circunferencia y la cónica formada por dos rectas PQ y RS. Este haz contiene la cónica formada por las rectas PR y QS. Se corta ese haz con la recta AB, encontrando un haz de ’’cónicas’’ (de dimensión 0), generado por el trazo de la circunferencia (los puntos A y B) y el de las rectas PQ y RS (el punto doble M). Las ecuaciones de esas ’’cónicas’’ (si se toma el origen en M) son de la forma $x^2-a^2$ para la primera y $x^2$ para la segunda. La de los puntos C y D es combinación lineal de ambas, por lo tanto, de la forma $x^2-b^2$. En consecuencia, M es el medio de CD.

Se dice que este ejercicio fue utilizado —hace ya mucho tiempo— durante los exámenes de ingreso a la Universidad de Moscú para eliminar a los candidatos indeseables... por razones distintas a las matemáticas. Leí la información de que esta pregunta había sido planteada a los candidatos judíos en el libro You failed your math test, Comrade Einstein, de M. Shifman, pero no sé si fue planteada a otros más. Esto nos recuerda que las matemáticas no son neutras ni objetivas : forman parte de la cultura y de la sociedad. Son lo que nosotros hacemos de ellas.

[4Del nombre del algebrista alemán Hans Zassenhaus (1912-1991).

[5Además, tuve la idea de escribir este perfil acerca de ella debido a que yo había dibujado esta figura.

[6Un consejo de lectura para sus vacaciones, para los lectores que desconozcan las novelas ’’policiales’’ de Fred Vargas (que los demás ya habrán leido : se titula El Ejército Furioso).

Otra lectura, pero esta online y poco adecuada para las playas de arena —pero lectura de vacaciones de todas maneras— es La Mirada de Ariana, novela en la cual también hay una mariposa.

[7Vea el anuncio del sitio web de este equipo

[8Además de su libro de memorias, Un mathématicien aux prises avec le siècle, publicado por Éditions Odile Jacob en 1997, señalemos la publicación, en la serie Documents mathématiques de la Société Mathématique de Francia, de los tres volúmenes de sus Obras.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Mariposas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - El logo del artículo, como se dijo, es el del CMLS.
Le papillon de Hofstadter - wikipedia

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?