Un défi par semaine

Mars, 1er défi

7 mars 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 10 :

Déterminer tous les couples $(a,b)$ d’entiers positifs qui satisfont l’équation $a^2+10b=2010$.

Solution du 4ème défi de février

Enoncé

La réponse est $5$.

Observons que $p$ et $q$ sont divisibles par $5$, donc $pq$ est divisible par $25$. De plus, $pq$ est un nombre pair (vu que $2$ est un facteur de $p$) mais n’est pas divisible par $4$
(vu que $2$ n’est pas un facteur de $q$). Ensuite, $pq$ est multiple de $50$ mais pas de $100$, ce qui implique qu’il doit se terminer par $50$. Ainsi son chiffre des dizaines est $5$.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de mars, La courbe de Menger par Étienne Ghys et Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La courbe de Menger par Jos Leys.

Commentaire sur l'article

  • Mars, 1er défi

    le 7 mars 2014 à 08:25, par Lina

    Il faut avoir a=10c et b=10d+1 avec c²+d=20. Il y a exactement 5 carrés parfaits inférieurs à 20. c=0 ;1 ;2 ;3 ;4 ce qui donne d=20 ;19 ;16 ;11 ;4 et donc 5 solutions

    (0 ;201) ;(10 ;191) ;(20 ;161) ;(30 ;111) ;(40 ;41)

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  • Mars, 1er défi

    le 7 mars 2014 à 14:18, par projetmbc

    Voici une solution élémentaire.

    Soient donc a et b deux naturels tels que a^2 + 10b = 2010.

    1) Il est immédiat que 10 | a^2, c’est à dire 10 divise a^2. Donc 2 | a^2 et 5 | a^2, puis 2 | a et 5 | a, ce qui donne : 10 | a. Autrement dit a est un mutliple de 10.

    2) a^2 = 2010 - 10b et b >= 0 impliquent 0 <= a <= 40 puisque sqrt(2010) = 44,8 et en utilisant le point 1.

    Testons les cinq possibilités.

    1) a = 0 implique b = (2010 - 0^2)/10 = 201.

    2) a = 10 implique b = (2010 - 10^2)/10 = 191.

    3) a = 20 implique b = (2010 - 20^2)/10 = 161.

    4) a = 30 implique b = (2010 - 30^2)/10 = 111.

    5) a = 40 implique b = (2010 - 40^2)/10 = 411.

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    • Mars, 1er défi

      le 7 mars 2014 à 14:20, par projetmbc

      Mon sqrt(2010) = 44,8 est stupide car nous avons 40^2 = 1600 et 50^2 = 2500 .

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    • Mars, 1er défi

      le 12 mars 2014 à 09:43, par projetmbc

      Grosse faute de frappe dans le 5 où le résultat est 41 et non 411 ! Je sais cela fait beaucoup même à une factorielle près. ;-)

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  • Mars, 1er défi

    le 8 mars 2014 à 18:08, par ROUX

    « a » au carré plus 10 fois « b » est égal à 2010 ou est égal à 201 fois 10. « a » au carré est donc égal à 201 fois 10 moins 10 fois « b » ou est donc égal à 10 facteur de « (201 - b) ».

    « a » au carré est donc un multiple de 10 : il se termine donc par un beau « 0 ».

    Si « a » est égal à un nombre « c » plus l’un des neuf chiffres non nuls, il ne se termine pas par un beau « 0 ». Donc « a » doit se terminer par un beau « 0 » ce qui signifie qu’il est un multiple de 10 et alors « a » au carré se termine par deux beaux « 0 ».

    « a » au carré est donc égal à 100, 400, 900 et 1600 ou « a » est égal à 10, 20, 30 et 40 et, respectivement, « b » est égal à 191, 161, 111 et 41.

    Les couples (a,b) sont : (10,191) ; (20,161) ; (30 ;111) et (40,41).

    Ah, et, oui, je viens de lire les solutions précédentes : (0,201).

    Le « hint », c’est comme la semaine dernière, la division par 10...

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  • Mars, 1er défi

    le 10 mars 2014 à 18:24, par geo7744

    on a : a² + 10b = 2010

    donc : a²/10 + b = 201
    la plus petite valeur possible de b est 0
    a² doit être divisible par 10
    donc a²/10 < 201
    a < sqrt(2010)
    donc a = 10, 20 , 30, 40
    (a,b)= (10,191), (20,161), (30,111),(40,41)

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    • Mars, 1er défi

      le 11 mars 2014 à 09:18, par projetmbc

      Bonjour, vouas avez oublié a = 0.

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  • Mars, 1er défi

    le 11 mars 2014 à 10:06, par Daniate

    Je viens de lire les différentes méthodes et je voudrais attirer l’attention sur la méthode de lina qui semble plus compliquée mais est-ce bien certain ?

    a=10c est conséquence directe de la divisibilité de a par 10

    Pour obtenir b=10d+1 et c²+d=20 on remplace a par 10c dans l’égalité qu’on simplifie par 10 et on change 10c² de membre

    b=201-10c²=200-10c²+1=10(20-c²)+1 et il suffit alors de poser d=20-c²

    La subtilité est qu’on obtient les couples (a,b) en collant (concaténant) 0 à la fin de c et 1 à la fin de d

    Par exemple pour obtenir la solution (30 ;111) le seul calcul à faire est 20-3²=11 alors que dans les autres méthodes il faut effectuer (2010-30²)/10 pas compliqué mais nettement moins engageant.

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    • Mars, 1er défi

      le 12 mars 2014 à 09:42, par projetmbc

      Bonne remarque. Ceci étant quand j’ai répondu je n’avais pas complètement la tête aux calculs de tête : voire mon auto-critique.

      Dans mes calculs, les calculs peuvent se faire moins violemment comme suit.

      1) 201 - 0^2*10 = 201.

      2) 201 - 1^2*10 = 191.

      3) 201 - 2^2*10 = 161.

      4) 201 - 3^2*10 = 111.

      5) 201 - 4^2*10 = 41.

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