Un défi par semaine

Mars 2015, 1er défi

Le 6 mars 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (17)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 10 :

Les points d’une grille sont numérotés suivant la trajectoire. Quel est le numéro se trouvant à la gauche de $2015$ ?

PNG - 23.6 ko

Solution du 4ème défi de Février :

Enoncé

La réponse est $\widehat{FAG}=24^{\circ}$.

Soit $S$ le centre de l’hexagone et $T$ celui du pentagone.

PNG - 41.7 ko

Les deux polygones sont réguliers. Comme ils ont le côté $[FE]$ en commun, $AF = FE = EG.$ Donc $AFG$ est isocèle en $F$. Pour déterminer la mesure de l’angle $\widehat{FAG}$ il suffit de connaître celle de $\widehat{AFG}$.

Observons que l’hexagone est formé de $6$ triangles équilatéraux congruents à $ASF$. Donc

$\widehat{AFE} = \widehat{AFS} + \widehat{SFE} =60^{\circ} + 60^{\circ}=120^{\circ}.$

Le pentagone est formé de $5$ triangles isocèles en $T$ et congruents à $FTG$, par conséquent

$\widehat{GTF}= \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$

d’où

$\widehat{TFG} = \frac{180^{\circ}-72^{\circ}}{2} =54^{\circ}.$

Donc $ \widehat{EFG} = \widehat{EFT} + \widehat{TFG} = 2 \times 54^{\circ}= 108^{\circ}. $

Par conséquent $\widehat{AFG} = 360^{\circ} -\widehat{AFE}- \widehat{EFG} =132^{\circ}$ et comme le triangle $AFG$ est isocèle en $F$,

$\widehat{FAG} = \frac{ 180^{\circ}-\widehat{AFG} }{2}=24^{\circ}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mars 2015, 1er défi

    le 6 mars 2015 à 12:41, par Bastien_B

    Bonjour à tous, voilà je me réveille se matin, je vois ce petit problème très intéressant. Je me met alors de suite à sa recherche. Je vous propose mes recherches ci-dessous :

    Tous d’abord j’ai chercher qu’es ce que cela correspondait, j’ai donc écris sur papier le problème, les chiffres zig-zag en serpent.

    Je me suis ensuite posé la question : « Y’ a-t-il une suite logique (arithmétique ou géométrique ?). Alors j’ai posé Un la suite qui associe les nombres sur la ligne de gauche »à chaque boucle" voici la suite : 1,4,16,36. J’ai alors Posé U0=1 U1=4 U2=16 U3=36.
    On peut s’apercevoir que U1=4*U0 U2=4*U1. Mais cela n’avance à rien car U3≠4*U2
    On peut alors se dire que cette suite est une suite arithmétique ? Quelle raison ?
    U1-U0=3 U2-U1=12 U3-U2=20 U4-U3=28
    C’est alors là que je me suis rendu conte d’une grave erreur ! Lorsque j’ai posé ma suite je suis partit du mauvais chiffre U0=1 est faux !

    J’ai alors posé une nouvelle suite :
    U0=4 U1=16 U2=36 et ainsi de suite.
    En effet 1 n’est pas "sur la même branche que 4, 16, 36, ect...

    Maintenant on peut s’apercevoir de quelque chose d’intéressant : U1-U0=16-4=12 U2-U1=20 U3-U2=28 U4-U3=100-64=36
    Il viens alors qu’on peut voir « une suite dans une suite » (je ne sais pas comment cela se nome) si V0=12 V1=20 et V2= 28 on vois que l’on a affaire à une suite arithmétique de raison 8.
    On pose alors une suite auxiliaire (Vn), tels que :
    UnUn=Vn Avec Vn=V0+8n <=> Vn=12+8n (suite arithmétique)
    On peut ainsi déterminer Un+1 en fonction de Un :
    Un+1=Un+Vn
    Un+1=Un+8n+12
    Mais nous n’avons pas encore exprimé Un en fonction de n (ce qui permettra de calculer simplement de grands nombres).

    => Voici la représentation via tableur pour que vous visualisez mieux (inséré dans google Drive) :
    Clicez ici

    Observons : Prenons l’exemple avec U4 :
    U4=U3+8*3+12
    U4=U2+8*2+12+8*3+12
    U4=U1+8*1+12+8*2+12+8*3+12
    U4=U0+8*0+12+8*1+12+8*2+12+8*3+12
    On observe ainsi :
    U4=U0+8*6+4*12

    On peut alors supposer que Un=U0+8*2n+12n
    Montrons par récurrence que Un=U0+8*2n+12n
    Soit P(n) :« Un=U0+8*2n+12n » ∀n∈ℕ
    Initialisation:Pour U0 ?
    Si on prend avec la formule ci-dessus : U0=U0+8*2*0+12*0=4
    Donc P(0) vérifié.
    Soit n∈ℕ fixé, Supposons P(n) vrai, montrons que P(n+1) vrai, c-à-d : « Un+1=U0+8*2(n+1)+12(n+1) »
    On a : Un+1=Un+8n+12
    D’après notre hypothèse de récurrence on obtient :
    Un+1=U0+8*2n+12n+8n+12
    Ainsi : Un+1=U0+8*(2n+1)+12(n+1)
    Il y a là quelque chose qui cloque dans mes calcules je ne trouve pas mon erreurs mais je vois bien que je devrais arriver au bon résultat.. J’aimerai que quelqu’un m’éclaircisse dans mon raisonnement..
    Nous devrions en tirer pour conclusion : que Un=U0+8*2n+12n

    Montrons différemment :
    On s’aperçoit que Un est en définitive la somme de la suite Vn écrite ainsi :
    Un=U0+∑Vn
    Exprimons alors Un en fonction de n !!
    on connais la relation pour déterminer la somme d’une suite arithmétique :
    Un=U0+(n+1)*(V0+Vn)/2
    En remplaçant Vn par 12+8n : Un=U0+(n+1)*(V0+12+8n)/2
    On obtient ainsi : Un=4+(n+1)*(12+12+8n)/2
    Un=4+(n+1)*(12+4n)
    Un=4+12n+4n²+12+4n
    Un=4n²+16n+16
    Un=4(n²+4n+1)

    On a alors exprimer la suite Un en fonction de n. Revenons à notre question : Quelle est le nombre à gauche de 2015 ?
    Cherchons alors quand es ce que Un>2015
    On résout simplement une équation puis étudier le signe :
    Un=2015
    4n²+16n+16=2015
    4n²+16k-1999=0
    Avec le discriminant on obtient :
    ∆=16²+4*4*1999=32240>0
    On obtient donc deux solutions réels :
    a=(-16-√32240)/8<0 Donc cette solution n’est pas la solution rechercher car nous travaillons dans ℝ+.
    notre solution : b= (-16+√32240)/8 ≃ 20.44
    Donc à partir du rang 21 Un>2015. Notre réponse se trouve donc entre la ligne 20 et la ligne 21.
    Calculons U21=4(21²+4*21+1)=2088 Donc à la 21ème ligne nous aurons le nombre 2088.
    Il suffit de remonter à 73 nombres auparavant pour pouvoir lire 2015.
    Et c’est là qu’on s’aperçoit que tous se qu’on viens de faire était inutile pour répondre à la question posé !! Car on pouvait directement répondre 2016 !!! :o

    Bon au moins on connaît la position précise du nombre 2015, on aurais pu aussi par tableur continué d’écrire les nombre jusqu’à 2015.. Avec un peu de patiente tout de même ^^
    Tout de même si quelqu’un pourrait me répondre à mes questions et petits blocages ?
    Comment par intuitions penser directement à faire la somme de la suite Vn + U0 pour exprimer Un ? Je pense en faite que c’est normal de se tromper en mathématiques.
    Pourquoi lors de ma récurrence je trouve quelque chose qui se rapproche fortement mais il y a un problème ?

    Sur ce je vous souhaite une bonne après-midi, Bonnes recherchez mathématiques à tous.
    Merci à Ana Rechtman de nous avoir proposé se 5èùme défi.
    Bastien B.

    Répondre à ce message
    • Mars 2015, 1er défi

      le 6 mars 2015 à 12:53, par Bastien_B

      En faite je viens de m’apercevoir de mon erreur !
      Quand je dit

      « Et c’est là qu’on s’aperçoit que tous se qu’on viens de faire était inutile pour répondre à la question posé !! Car on pouvait directement répondre 2016 !!! :o »

      c’est en faite faux !
      Car il se pouvait que la ligne ne soit pas assez longue pour contenir 2015..
      Je n’ai finalement pas démontrer le résultat.. Le défi reste encore irrésollu..

      Il faut alors montrer qu’il y a suffisement de nombre sur la ligne pour contenir 2015 (et donc 2016) Il faut donc montrer ici qu’il y a plus de 79 nombres sur la ligne U21 ;)

      Répondre à ce message
    • Mars 2015, 1er défi

      le 7 mars 2015 à 09:10, par Daniate

      Bonjour, je viens de relire votre texte.

      1)Votre récurrence ne fonctionne pas parce que votre hypothèse de récurrence est fausse. Vous le prouvez vous même en écrivant plus tard Un=4n² + 16n + 16.

      2) Vous commettez alors une faute d’inattention en factorisant 4 : Un=4(n² + 4n + 4) et vous passez à côté d’une identité remarquable qui vous aurait évité bien des errements par la suite : Un=4(n + 2)²

      Je vous rassure, les liens vers votre drive fonctionnent correctement.

      Répondre à ce message
  • Mars 2015, 1er défi

    le 6 mars 2015 à 15:14, par Daniate

    La réponse est l’année où la Savoie et Nice sont devenues Françaises.

    Répondre à ce message
    • Mars 2015, 1er défi

      le 6 mars 2015 à 15:37, par Bastien_B

      l’année où la Savoie et Nice sont devenues Françaises.

      1860 ?

      Répondre à ce message
  • Mars 2015, 1er défi

    le 6 mars 2015 à 15:34, par Bastien_B

    Rebonjour à tous,
    Je poste un nouveau message pour terminer la recherche.
    J’ai pris un peu de temps avant de bien percevoir cevoit la pr class="manualbr" />Je la rep17;ai pref="https://drive.google.com/file/d/0BwR9Jvl7mFTCdHZBeWZ6bTlibWNVSkUw?usp=sharing" class="spip_out" rel="external">Clice :la su U21&omme ls recp>

    => VC estilp;: Un=4k">

    Soit i8217;on a afinué d que e solueur conturais pu a chaquild nsuitsoluU20 (1924 vousU2113)<88) (ontrer liena qu17;ai prid la suite Vn + une i-dentaire sur pédent",st) class="manualbr" />On pontura pas Un>20t las la gauc42 ligne nous la f contenls reéro se s r class="manualbr" />CalcA par U21144 ligne nousomme ls re r class="manualbr" />CalcEte posura pas Un>2s prenm d’une gravcalors tem&nbsUn&nbt lbtient&nbsnbt ln + = 1925 (l nous43me ls rer class="manualbr" />Il y217;après notre hypoeur conts preninué d que urais pu144me ls rec la lign44 ligne nou peti43me ls rer la ligne U21&43. Jst lps&nb vous visualisez mieuue votriens(insimer Un&r class="manualbr" />Je nB"htninué dnbsp;: Pr; vu 2015 -885-1er=73>44mofiniduue la l chaq217;est pas la sla ligne U21&44 class="manualbr" />Je nDme si q-1er-d925=90>43m 2016) Iaq217;est pas la sla ligne U21&43 class="manualbr" />On pose eonc montaairerre hypolusion : que ) Iaqpas pas une iame ls re 43m pas une iame ls re 44mathcise dude b que je dilq217;est pas la snouvade 79une i-sne U21&43peti44 class="manualbr" />Je naut doncmenant on prues i mathver s&nbr Bastrochoptia gauce U21&44 auradpas mont1; Et criptaveesp;» ∀n une iame ls re 44. Plroposse duntren obtidpas iptavees2015&9vcalosr tousCar Oniver aumatfinsa rembre sur,dilq doncmenant on pve quee Un=est le nombre à gl’on a af eonclsur l'arsuche de . n prenéseavecartir du raeligne U21&43 uraie à rd1&43 tion pr sla lignts rbr Bétuofinitave2015&813)9-1 nous trave de lla ligne U21&43petinouvla l44 vype=e queeors exprombre à gl&ilas la gauce si qe U21&lRebre 2015, ons il yne suite ls re votrauche de p;!!! :o&class="manualbr" />En remphe fgogiinsi&nbsvype=e que&lRebre 2015auche de 20mbre 2015, onlas ld925+43+28=1996 class="manualbr" />CalcEtne aous pa resuitref="https://drive.google.com/file/d/0BwR9Jvl7mFTCdHZBVXFFV1Q3UHhidlEw?usp=sharing" class="spip_out" rel="external">Clice :Soitong>4

    Bon Etfinsiner la rcfi restr class="autoalbr" />Je nBs re à où ous, voilien_BRépondre à ce message

    • 9
    • Mars 2015, 1er défi

      le 6 mars 2015 à 15:34, 40r Bastien_B

      En faxcumieuxoi,r tousignttrnes&nble :Clice de -a>

      class="manualbr" />Pourqards reeuxoir tous quese un r class="manualbr" />MercS que-our tse blocdevoir lirer propuonctionne p&eacienuo; une gog cetp;» (je s17;il y a passel fap;? Je pCse nté b que ourgenes2015on on puisr class="manualbr" />Je nB après-midi, Botous.
      Mercien_BRépondre à ce message
      • 0
      • Mars 2015, 1er défi

        le 6 mars 2015 à 12:417:52r Daniate

        La repent.Répondre à ce message

        • Mars 2015, 1er défi

          le 6 mars 2015 à 12:520:26r Bastien_B

          En fJis bienla sou mathrreur !Répondre à ce message

        • 2
        • Mars 2015, 1er défi

          le 6 mars 2015 à 12:521:05r Bastien_B

          En fJis de relive quee mrrementursp;:
          Tout) Iaq217;est pas la sa gauc44 ligne ls re maéteune iam45 ligne ls reoilodeuxi-deres zig-erche. <pas du peune iam44 ?En r à l as la grr cevo je voise en fla ligneue (arilà qui parp;?

          On ai le lienent.a=(-href="https://drive.google.com/open/d/0BwR9Jvl7mFTCdHZBbUZHejF3Q1dyZGsw?usp=sharing" class="spip_out" rel="external">Clics://drive.google.com/open/d/0BwR9Jvl7mFTCdHZBbUZHejF3Q1dyZGsw?usp=sharing" cl

          ObseJusne bonntion posr ceus mêmeeage : an et Ntablrree.goop;?

          Sur ien_BRépondre à ce message

        MarsErrata>

        le 7 mars 2015 à 09:10, p6r Daniate

        La rPr s&nbcdevoermde s comm et eabse dananommards roùa,cdevolropla ligndie esai-dype=e que&²-+12 Répondre à ce message

        Mars 2015, 1er défi

        le 6 mars 2015 à 10:222:49r DaniROUX>

        La rPon e (inp;!

        Répondre à ce message

    • 5
    • MarsFle ci-s>

      le 6 mars 2015 à 10:223:49r Daniien_B

      En fT intéreeant&nbs,o je v217;ai posi quens p cevoent cela auraivousSi on nouv217;ai posi b que e répit it8217;écrirspras une iamerche matp;: que Lire connaher car d grut siees noslème trèesé&nane évreps&nb pensuitneles jans objecoords roùa class="autobr" /> En eien_BRépondre à ce message

    • 5
    • MarsFle ci-s>

      le 6 ma8s 2015 à 12:520:02r Daniate

      La rBonscev,suis partit dut217;une grborgte1)Vots&nb voun posxplt;yp;? Je pbsvyusp;: Un=42 ligntion : Quelyilàune lairp;? Je pbsvyus 15y²-x+1r siinouvn=(y-1)²+x

      1)Vos reprnse est a gauciers s&nb voun posnormalnsignttuxi ligntion&nbsnorp;: Quelxilàune lairp;? Je pbsvyus 15(x-1)²+y siinouvn=x²-y+1

      Bon Ete je su17;ai prislaçanca quuestions et pDanidsmulonne pmbnouacessaises à tvous ajens 1nd es ciatvari qui ifié.

      Soitf(x,y)5(x-y+abs(x-y)/(2(x-y)bnorme de $\wixplt;y

      Soitg(x)5(1+(-1)^xbr norme de $\wix lair

      On a alors expruonctie ci-d8217;il y a it de remot aiupour concuiteemen.Tousn=f(x,y)ong>4

      g(y)(y²-x+1)+(1-g(y))((y-1)²+x)ong>4

      +(1-f(x,y))ong>4

      g(x)(x²-y+1)+(1-g(x))((x-1)²+y)ong>4

      J’ai aloraçaoya quese si qiquehodur termlenuler s$\wix e remoyo je vôsmule ci-sr numolropfacil tousents i >

      Répondre à ce message

    • 6
    • MarsFle ci-s>

      le 6 ma9s 2015 à 10:228:2ar Bastos en8>

      La rBrp cr termvosmulonne pmbnouacessaises à p;!

      JAvou-s/a> ae">ya qtsimplement une (xplt;y)tvous aus 1nsi8217;on aagts_ceuitsoluraes me de silà , c-àpt 0 sinoup;?

      Sur Cse ntionne pas une olroi maisjang:

      SoitDme si , (x=2*s m(x/2)boulque chose qui e le (mod(x,2)=ériaieea 1nsi8x8pas lair, 0 sinou>

      Répondre à ce message

    > v>
    egends anregiseru bon senta qui. i à intérds àrdessous&nbs anntité fiplus erementlivous aurai sdfà i. n p auranclates encoreregiserSupp auranueszns/a> &nbe les>

    S mot de ez à oubl s ?

    J v>

    a
    Ju se t6) Il, 4efi aiv>
    a href="spipJu se t5-1e6-4fi.html" cla>22 ju se t6) Il> aiv>i Rechtman de
    D du calendrier mathématique 2015 ch6p;: Quelt problème trèd grut siees…. v>
    a
    rier&nbs5, 1er 4efi aiv>
    a href="spipier-2015-4eme-defi.html" cla>27 fier&nbs5, 1e> aiv>i Rechtman de
    Ptousignttuxi ligne où,que boucsemena,qufiniticalendrier mathématique 201... v>
    a
    aiv>
    a href="spipMai-2defi.html" clas9s 2i5, 14> aiv>i Rechtman de
    Ce boucsemena,qufiniticalendrier mathématique 2015, 14... v>
      on

      v>a
        a cla class="block-commt='35 k-comms noom on

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        2esnle=345oppubl ss !v>a
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                                                  • li arsDiffssanntsmématiques, CN>

                                                  • li nav

                                                  • li
                                                        li
                                                          ématiques, CN,r tpt év
                                                  • li
                                                      li
                                                        Enmsordde raeli17;écrireolC
                                                  • li
                                                      li
                                                        ématiques, CN ons mai
                                                  • li
                                                      li
                                                        -l" cla>L17;écrIHP,o je rree17;écroires
                                                      • li
                                                          li
                                                            -l" cla>L17;écrIHP,obonnmje rreee sc dechr tous
                                                          • li
                                                              li
                                                                TriUnserus IHP
                                                              • li
                                                                  li
                                                                    onderaelignerche mat
                                                                  • li
                                                                      li
                                                                        Ée quraelignerche mat
                                                                      • li
                                                                          li
                                                                            Objet82u mois
                                                                          • li
                                                                              li
                                                                                CafRsmémas
                                                                              • li
                                                                                  li
                                                                                    Ltsdentjre des 82u triUnseru
                                                                                  • li
                                                                                      li
                                                                                        Hires h2>
                                                                                      • li
                                                                                          li
                                                                                            I : h2>
                                                                                          • li
                                                                                              li
                                                                                                Res&nbrc/s pgogigue (arsp;: Quel1; Et c tousalsimp anas lanap;»

                                                                                              • li
                                                                                                  li
                                                                                                    Con2dés
                                                                                              • li
                                                                                                  li
                                                                                                    ématiques, CN aelignplplète Tment
                                                                                                  • li
                                                                                                      li
                                                                                                        Lt eodcast Henri Panacaré> h2>
                                                                                                      • li
                                                                                                          li
                                                                                                            I : h2>
                                                                                                          • li
                                                                                                              li
                                                                                                                I :
                                                                                                              • li
                                                                                                                  li
                                                                                                                    Cour matvdsmere eés

                                                                                                                  • li
                                                                                                                      li
                                                                                                                          nav l> l>lass="flatexpendabRS href="java#menua>Dtse es

                                                                                                                          ulss="bloceolume -3">
                                                                                                                            Au à aelGalois

                                                                                                                              Benoît éndelbrotles objeobjets fuaceals

                                                                                                                                Bibliothè, CN es pssaiods à mématiques, CN> h2>
                                                                                                                                  CarnetsrécuodRelignMMI> h2>
                                                                                                                                    Cartographie> h2>
                                                                                                                                      Fauunerp cevopcont2smémas financ s ?

                                                                                                                                        Henri Panacaré> h2>
                                                                                                                                          Jac à Hadamard> h2>
                                                                                                                                            JeanmlenRond D’Alet h2>
                                                                                                                                              Joseph-Louis Lagrange> h2>
                                                                                                                                                Ladentjre dest2smres sur iers es jumeusx> h2>
                                                                                                                                                  Lt monde mathématiques, C> h2>
                                                                                                                                                    Lts 5 mind&#s Lebesg C> h2>
                                                                                                                                                      Lts figdes sat pDanolCN> h2>
                                                                                                                                                        Lts reea?usp 82u CIRM> h2>
                                                                                                                                                          ématiques, CN aelignplplète Tment (2013)> h2>
                                                                                                                                                            -etmarts-plpses à m+l" cla>ématiques, CN rticlessel ses, CN> h2>
                                                                                                                                                              -etmInduseriem+l" cla>ématiques, CN rtiInduserie> h2>
                                                                                                                                                                -etmjang:ématiques, CN rtijang: h2>
                                                                                                                                                                  -etmjitte a desm+l" cla>ématiques, CN rtijittéra des> h2>
                                                                                                                                                                    ikhaïl Gromov, géomètes> h2>
                                                                                                                                                                      Nieolas Bà baki> h2>
                                                                                                                                                                        -mmas-+l" cla>Parlou-s/a>mémasp;?

                                                                                                                                                                          Rma" "inbs

                                                                                                                                                                            Trans tpt optimal > h2>
                                                                                                                                                                            • <
                                                                                                                                                                            • li arsQe rantais"rea>m?>

                                                                                                                                                                            • li nav

                                                                                                                                                                            • li
                                                                                                                                                                                  Pcute;ditss
                                                                                                                                                                                • li
                                                                                                                                                                                    L'ute;dits ipe
                                                                                                                                                                            • li
                                                                                                                                                                                Fionne pass_ce82u site
                                                                                                                                                                            • li
                                                                                                                                                                                Parren surs

                                                                                                                                                                        • li
                                                                                                                                                                            Cnt"act

                                                                                                                                                                      • li
                                                                                                                                                                            nav

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                                        senne p
                                          ef="spip.php?page=rss_plpla>Plpl82u site
                                        • li > ef="spipMté nbs-legdrisl" cla>Ccute;ditditN rtimté nbs lute;ditgdris
                                        • li > ef="spipSi&#s-ageren surs-site mumisl" cla>Si&#s web e pois
                                        • li > ef="spipmenlto:cnt"act@e :menu cnt"act
                                        • >
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