Un défi par semaine

Mars 2015, 1er défi

6 mars 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (17)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 10 :

Les points d’une grille sont numérotés suivant la trajectoire. Quel est le numéro se trouvant à la gauche de $2015$ ?

PNG - 23.6 ko

Solution du 4ème défi de Février :

Enoncé

La réponse est $\widehat{FAG}=24^{\circ}$.

Soit $S$ le centre de l’hexagone et $T$ celui du pentagone.

PNG - 41.7 ko

Les deux polygones sont réguliers. Comme ils ont le côté $[FE]$ en commun, $AF = FE = EG.$ Donc $AFG$ est isocèle en $F$. Pour déterminer la mesure de l’angle $\widehat{FAG}$ il suffit de connaître celle de $\widehat{AFG}$.

Observons que l’hexagone est formé de $6$ triangles équilatéraux congruents à $ASF$. Donc

$\widehat{AFE} = \widehat{AFS} + \widehat{SFE} =60^{\circ} + 60^{\circ}=120^{\circ}.$

Le pentagone est formé de $5$ triangles isocèles en $T$ et congruents à $FTG$, par conséquent

$\widehat{GTF}= \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$

d’où

$\widehat{TFG} = \frac{180^{\circ}-72^{\circ}}{2} =54^{\circ}.$

Donc $ \widehat{EFG} = \widehat{EFT} + \widehat{TFG} = 2 \times 54^{\circ}= 108^{\circ}. $

Par conséquent $\widehat{AFG} = 360^{\circ} -\widehat{AFE}- \widehat{EFG} =132^{\circ}$ et comme le triangle $AFG$ est isocèle en $F$,

$\widehat{FAG} = \frac{ 180^{\circ}-\widehat{AFG} }{2}=24^{\circ}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mars 2015, 1er défi

    le 6 mars 2015 à 12:41, par Bastien_B

    Bonjour à tous, voilà je me réveille se matin, je vois ce petit problème très intéressant. Je me met alors de suite à sa recherche. Je vous propose mes recherches ci-dessous :

    Tous d’abord j’ai chercher qu’es ce que cela correspondait, j’ai donc écris sur papier le problème, les chiffres zig-zag en serpent.

    Je me suis ensuite posé la question : « Y’ a-t-il une suite logique (arithmétique ou géométrique ?). Alors j’ai posé Un la suite qui associe les nombres sur la ligne de gauche »à chaque boucle" voici la suite : 1,4,16,36. J’ai alors Posé U0=1 U1=4 U2=16 U3=36.
    On peut s’apercevoir que U1=4*U0 U2=4*U1. Mais cela n’avance à rien car U3≠4*U2
    On peut alors se dire que cette suite est une suite arithmétique ? Quelle raison ?
    U1-U0=3 U2-U1=12 U3-U2=20 U4-U3=28
    C’est alors là que je me suis rendu conte d’une grave erreur ! Lorsque j’ai posé ma suite je suis partit du mauvais chiffre U0=1 est faux !

    J’ai alors posé une nouvelle suite :
    U0=4 U1=16 U2=36 et ainsi de suite.
    En effet 1 n’est pas "sur la même branche que 4, 16, 36, ect...

    Maintenant on peut s’apercevoir de quelque chose d’intéressant : U1-U0=16-4=12 U2-U1=20 U3-U2=28 U4-U3=100-64=36
    Il viens alors qu’on peut voir « une suite dans une suite » (je ne sais pas comment cela se nome) si V0=12 V1=20 et V2= 28 on vois que l’on a affaire à une suite arithmétique de raison 8.
    On pose alors une suite auxiliaire (Vn), tels que :
    UnUn=Vn Avec Vn=V0+8n <=> Vn=12+8n (suite arithmétique)
    On peut ainsi déterminer Un+1 en fonction de Un :
    Un+1=Un+Vn
    Un+1=Un+8n+12
    Mais nous n’avons pas encore exprimé Un en fonction de n (ce qui permettra de calculer simplement de grands nombres).

    => Voici la représentation via tableur pour que vous visualisez mieux (inséré dans google Drive) :
    Clicez ici

    Observons : Prenons l’exemple avec U4 :
    U4=U3+8*3+12
    U4=U2+8*2+12+8*3+12
    U4=U1+8*1+12+8*2+12+8*3+12
    U4=U0+8*0+12+8*1+12+8*2+12+8*3+12
    On observe ainsi :
    U4=U0+8*6+4*12

    On peut alors supposer que Un=U0+8*2n+12n
    Montrons par récurrence que Un=U0+8*2n+12n
    Soit P(n) :« Un=U0+8*2n+12n » ∀n∈ℕ
    Initialisation:Pour U0 ?
    Si on prend avec la formule ci-dessus : U0=U0+8*2*0+12*0=4
    Donc P(0) vérifié.
    Soit n∈ℕ fixé, Supposons P(n) vrai, montrons que P(n+1) vrai, c-à-d : « Un+1=U0+8*2(n+1)+12(n+1) »
    On a : Un+1=Un+8n+12
    D’après notre hypothèse de récurrence on obtient :
    Un+1=U0+8*2n+12n+8n+12
    Ainsi : Un+1=U0+8*(2n+1)+12(n+1)
    Il y a là quelque chose qui cloque dans mes calcules je ne trouve pas mon erreurs mais je vois bien que je devrais arriver au bon résultat.. J’aimerai que quelqu’un m’éclaircisse dans mon raisonnement..
    Nous devrions en tirer pour conclusion : que Un=U0+8*2n+12n

    Montrons différemment :
    On s’aperçoit que Un est en définitive la somme de la suite Vn écrite ainsi :
    Un=U0+∑Vn
    Exprimons alors Un en fonction de n !!
    on connais la relation pour déterminer la somme d’une suite arithmétique :
    Un=U0+(n+1)*(V0+Vn)/2
    En remplaçant Vn par 12+8n : Un=U0+(n+1)*(V0+12+8n)/2
    On obtient ainsi : Un=4+(n+1)*(12+12+8n)/2
    Un=4+(n+1)*(12+4n)
    Un=4+12n+4n²+12+4n
    Un=4n²+16n+16
    Un=4(n²+4n+1)

    On a alors exprimer la suite Un en fonction de n. Revenons à notre question : Quelle est le nombre à gauche de 2015 ?
    Cherchons alors quand es ce que Un>2015
    On résout simplement une équation puis étudier le signe :
    Un=2015
    4n²+16n+16=2015
    4n²+16k-1999=0
    Avec le discriminant on obtient :
    ∆=16²+4*4*1999=32240>0
    On obtient donc deux solutions réels :
    a=(-16-√32240)/8<0 Donc cette solution n’est pas la solution rechercher car nous travaillons dans ℝ+.
    notre solution : b= (-16+√32240)/8 ≃ 20.44
    Donc à partir du rang 21 Un>2015. Notre réponse se trouve donc entre la ligne 20 et la ligne 21.
    Calculons U21=4(21²+4*21+1)=2088 Donc à la 21ème ligne nous aurons le nombre 2088.
    Il suffit de remonter à 73 nombres auparavant pour pouvoir lire 2015.
    Et c’est là qu’on s’aperçoit que tous se qu’on viens de faire était inutile pour répondre à la question posé !! Car on pouvait directement répondre 2016 !!! :o

    Bon au moins on connaît la position précise du nombre 2015, on aurais pu aussi par tableur continué d’écrire les nombre jusqu’à 2015.. Avec un peu de patiente tout de même ^^
    Tout de même si quelqu’un pourrait me répondre à mes questions et petits blocages ?
    Comment par intuitions penser directement à faire la somme de la suite Vn + U0 pour exprimer Un ? Je pense en faite que c’est normal de se tromper en mathématiques.
    Pourquoi lors de ma récurrence je trouve quelque chose qui se rapproche fortement mais il y a un problème ?

    Sur ce je vous souhaite une bonne après-midi, Bonnes recherchez mathématiques à tous.
    Merci à Ana Rechtman de nous avoir proposé se 5èùme défi.
    Bastien B.

    Répondre à ce message
    • Mars 2015, 1er défi

      le 6 mars 2015 à 12:53, par Bastien_B

      En faite je viens de m’apercevoir de mon erreur !
      Quand je dit

      « Et c’est là qu’on s’aperçoit que tous se qu’on viens de faire était inutile pour répondre à la question posé !! Car on pouvait directement répondre 2016 !!! :o »

      c’est en faite faux !
      Car il se pouvait que la ligne ne soit pas assez longue pour contenir 2015..
      Je n’ai finalement pas démontrer le résultat.. Le défi reste encore irrésollu..

      Il faut alors montrer qu’il y a suffisement de nombre sur la ligne pour contenir 2015 (et donc 2016) Il faut donc montrer ici qu’il y a plus de 79 nombres sur la ligne U21 ;)

      Répondre à ce message
    • Mars 2015, 1er défi

      le 7 mars 2015 à 09:10, par Daniate

      Bonjour, je viens de relire votre texte.

      1)Votre récurrence ne fonctionne pas parce que votre hypothèse de récurrence est fausse. Vous le prouvez vous même en écrivant plus tard Un=4n² + 16n + 16.

      2) Vous commettez alors une faute d’inattention en factorisant 4 : Un=4(n² + 4n + 4) et vous passez à côté d’une identité remarquable qui vous aurait évité bien des errements par la suite : Un=4(n + 2)²

      Je vous rassure, les liens vers votre drive fonctionnent correctement.

      Répondre à ce message
  • Mars 2015, 1er défi

    le 6 mars 2015 à 15:14, par Daniate

    La réponse est l’année où la Savoie et Nice sont devenues Françaises.

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    • Mars 2015, 1er défi

      le 6 mars 2015 à 15:37, par Bastien_B

      l’année où la Savoie et Nice sont devenues Françaises.

      1860 ?

      Répondre à ce message
  • Mars 2015, 1er défi

    le 6 mars 2015 à 15:34, par Bastien_B

    Rebonjour à tous,
    Je poste un nouveau message pour terminer la recherche.
    J’ai pris un peu de temps avant de bien percevoir le truc.
    Voici l’image qui vous aidera à mieux comprendre le raisonnement (les histoires de ligne et colonnes).

    Conseil : clic droit sur image et ouvrez dans un nouvelle onglet, cela vous permettra de visualiser en même temps que la lecture.

    Si l’on continuerai notre tableur on aurais 2015 compris entre U20 (1924) et U21 (2088) (démontré à l’aide de la suite dans le commentaire précédent).
    Or on sais que U20 est à la 42ème ligne avec pour colonne numéros 1.
    Aussi U21 44ème ligne et colonne 1.
    Ensuite on sais que si on monte d’une case au dessus de U20 on obtient U20 + 1 = 1925 (ligne 43 colonne1)
    D’après notre tableur si on continuerai on aurai 44 colonnes sur la 44ème lignes et 43 colonnes sur la ligne 43. J’espère que vous visualisez ce que je veux exprimer..
    Bref continuons ; vu que 2088-2015=73>44 on déduit que 2015 n’est pas sur la ligne 44.
    De même 2015-1925=90>43 donc 2015 n’est pas sur la ligne 43.
    On peut donc amener notre conclusion : 2015 est soit dans la colonne 43 soit dans la colonne 44 en précisant bien que il n’est pas non plus dans les ligne 43 et 44.
    Il faut maintenant revenir en arrière, par rapport à la ligne 44, on doit donc « descendre » dans la colonne 44. Plus précisément on doit descendre de 29 cases pour tomber sur 2015 !
    On arrive enfin à se nombre, il faut maintenant trouver quelle est le nombre que l’on peut lire sur sa gauche. Si on reprend à partir de la ligne 43 on avance de 43 positions sur la droite, puis on décend de 28 (29-1 car nous somme sur la ligne 43 et non sur 44) on trouvera alors le nombre qui est à la même ligne que le nombre 2015 mais à une colonne vers la gauche !!!
    En procédant ainsi on trouve que le nombre à gauche du nombre 2015 est 1925+43+28=1996.
    En bonus voici une image représentant les deux dernières colonnes (43 et 44) ainsi que les ligne 43 et 44.

    Conclusion : le Nombre à gauche de 2015 est 1996.

    Enfin terminer ce défi ^^
    Bonne journée à tous, Bastien

    Répondre à ce message
    • Mars 2015, 1er défi

      le 6 mars 2015 à 15:40, par Bastien_B

      Excusez moi, pour la dernière image c’est en faite celle-ci.
      Pardonnez moi pour tous mes postes.
      Serai-ce possible de pouvoir avoir une fonctionalité « éditer » s’il vous plait ? Cela éviterai ce genre de situations..
      Bonne après-midi à tous.
      Bastien

      Répondre à ce message
      • Mars 2015, 1er défi

        le 6 mars 2015 à 17:52, par Daniate

        Le serpentin forme des carrés successifs qui s’achèvent sur l’axe des ordonnées quand le coté est impair et sur l’axe des abscisses quand le côté est pair. Si on numérote les axes de 1 à l’infini les nombres (2n)² sont en (1 ;2n) et les (2n+1)² sont en (2n+1 ;1). Les nombres sur la diagonale (n ;n) sont n²+n+1. 44²+44+1<2015<45² donc 2015 est à la verticale de 2025 en (45 ;11) le nombre cherché est en (44 ;11) sur une verticale ascendante dont le pied est 43²+1=1850, il suffit donc d’ajouter les 10 qui séparent 2015 de 2025 pour obtenir 1860

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        • Mars 2015, 1er défi

          le 6 mars 2015 à 20:26, par Bastien_B

          Je vois pas ou est mon erreur :’(

          Répondre à ce message
          • Mars 2015, 1er défi

            le 6 mars 2015 à 21:05, par Bastien_B

            Je viens de trouver mes erreurs :
            2015 n’est pas à la 44ème colonne masi dans la 45ème colonnes, donc le chiffres recherché est lui dans la 44ème !!
            Donc tous est à revoir mais je pense que la logique est là aussi ! ;=)

            Voici le serpent finis :
            https://drive.google.com/file/d/0BwR9Jvl7mFTCbUZHejF3Q1dyZGs/view?usp=sharing

            Juste une question voyez vous mes images que je vous envoie via mon drive ?

            Bastien

            Répondre à ce message
        • Errata

          le 7 mars 2015 à 09:16, par Daniate

          Prière de permuter les mots abscisses et ordonnées, de plus sur la diagonale on trouve n²-n+1

          Répondre à ce message
        • Mars 2015, 1er défi

          le 7 mars 2015 à 12:49, par ROUX

  • Formules

    le 7 mars 2015 à 23:21, par Daniate

    Je propose 3 formules, les 2 premières calculent les coordonnées d’un nombre dans un repère gradué avec (1 ;1) comme origine.

    n est le nombre , e est la partie entière de sa racine carrée, abs est la valeur absolue.

    x = e + 1 + (((-1)^e)(n-e²-e-1)-abs(n-e²-e-1))/2

    y = e + 1 + (((-1)^(e+1))(n-e²-e-1)-abs(n-e²-e-1))/2

    La troisième calcule la valeur d’un nombre connaissant ses coordonnées :

    n=(x²+y²-x-y+2+(y-x)((-1)^x+(-1)^y)+(abs(x-y))(x + y-1+(-1)^x-(-1)^y))/2

    Le defi se ramène à poser n=2015 avec e=44 dans les 2 premières pour trouver x=45 et y=11 puis à rentrer les coordonnées du voisin x=44 et y=11 dans la troisième.

    J’utilise un marteau pilon pour écraser une mouche, j’en conviens, mais le plaisir de la recherche en valait la peine.

    Répondre à ce message
    • Formules

      le 7 mars 2015 à 23:49, par Bastien_B

      Très interessant, mais j’aimerais savoir comment vous avez trouvé ses formules pour déterminer les coordonnées ainsi que n ?
      Sinon j’aime bien votre état d’ésprit dans la recherche : Le fait de chercher à résoudre le problème en posant un repère puis en calculant les coordonnées.
      Bastien

      Répondre à ce message
      • Formules

        le 8 mars 2015 à 20:02, par Daniate

        Bonsoir, je suis parti d’un organigramme permettant de calculer n connaissant x et y. Le voici décrit en langage courant :

        1ère question x<y ? si oui : 2ème question : y est-il pair ? si oui n=y²-x+1, si non n=(y-1)²+x

        si la réponse à la première question est non la deuxième question est : x est-il pair ? si oui n=(x-1)²+y si non n=x²-y+1

        Ensuite j’ai remplacé les questions par des fonctions caractéristiques qui valent 1 quand la variable vérifie une propriété et 0 sinon.

        f(x,y)=(x-y+abs(x-y)/(2(x-y)) est celle de x<y

        g(x)=(1+(-1)^x)/2 est celle de x pair

        On a alors une formule qu’il suffit de triturer pour la simplifier, après avoir remplacé f(x,y), g(x) et g(y) par leurs expressions :

        n=f(x,y)(g(y)(y²-x+1)+(1-g(y))((y-1)²+x))+(1-f(x,y))(g(x)(x²-y+1)+(1-g(x))((x-1)²+y))

        J’ai employé la même méthode pour le calcul de x et de y mais les formules sont plus faciles à obtenir.

        Répondre à ce message
        • Formules

          le 9 mars 2015 à 18:23, par orion8

          Bravo pour vos fonctions caractéristiques !

          Avez-vous essayé tout simplement (x<y) qui vaut 1 si l’agument entre parenthèses est vrai, et 0 sinon ?

          Cela fonctionne dans plusieurs langages.

          De même, (x=2*ent(x/2)) ou quelque chose comme (mod(x,2)=0) vaudra 1 si x est pair, 0 sinon.

          Répondre à ce message

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