Un défi par semaine

Mars 2015, 3e défi

20 mars 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 12 :

Neuf nombres sont écrits en ordre croissant. Le nombre du milieu est la moyenne des neuf nombres. La moyenne des cinq plus grands est $80$ et celle des cinq plus petits est $50$. Quelle est la valeur de la somme de tous les nombres ?

Solution du 2ème défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $8$ cubes.

Un cube ayant 6 faces, nous devons tracer 6 diagonales. Définissons la valence d’un sommet comme le nombre de diagonales tracées possédant ce sommet pour l’une de leurs extrémités : la somme des valences des 8 sommets du cube doit donc être égale à $2\times 6=12$. Ainsi, pour chaque façon de tracer les diagonales, il y a au moins un sommet de valence strictement supérieure à 1.

Supposons que sont uniquement tracées deux diagonales possédant un sommet en commun. En faisant des rotations autour des axes qui passent par les centres de deux faces opposées, nous pouvons toujours amener le cube dans l’une des trois situations suivantes :

PNG - 29 ko

Chaque cube est représenté à droite de manière aplatie afin de mieux voir ses différentes faces : une seule face --- la face arrière --- n’est pas visible. Avec des rotations sur l’axe $(AG)$ nous pouvons voir que les trois configurations tracées précédemment sont équivalentes.

Pour la suite, considérons donc un cube avec deux diagonales tracées comme sur la première ligne de la figure précédente. Il nous reste alors à tracer 4 diagonales. Dans ce qui suit, deux diagonales seront parallèles si elles sont tracées sur deux faces opposées et si ces deux diagonales coïncident lorsque l’on fait la projection orthogonale d’une face sur l’autre. Le cube possède alors au choix :

  1. trois paires de diagonales parallèles ;
  2. deux paires de diagonales parallèles ;
  3. seulement une paire de diagonales parallèles ;
  4. aucune paire de diagonales parallèles.

Comptons d’abord le nombre de façons de tracer les diagonales dans le cas $(1)$, en partant toujours d’un cube ayant deux diagonales tracées comme précisé précédemment. Nous avons alors deux possibilités :

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La diagonale tracée sur la face cachée est représentée par deux segments qui sortent du cube. Observons que dans la figure de gauche il y a 6 sommets de valence 2 et que dans
celle de droite il y a 2 sommets de valence 3 et 6 sommets de valence 1 : ces deux cubes sont donc différents.

Dans le cas $(2)$ nous avons a priori six façons de tracer les diagonales (les faces coloriées sont les couples de faces contenant les diagonales parallèles) :

PNG - 43.7 ko

Il y a dans chacun de ces cas un sommet de valence 3, trois sommets de \linebreak valence 2, trois sommets de valence 1 et donc un sommet de valence zéro. Par des rotations, nous pouvons toujours placer le sommet de valence zéro dans la même position que dans la figure $a$ et ainsi voir que toutes ces façons de tracer les diagonales sont équivalentes. Explicitons la suite de rotations qui permet de conclure que les configurations $c$ et $b$ sont identiques. Pour cela, donnons des numéros à deux des faces du cube. En faisant une rotation de $180^\circ$ ayant comme axe le centre de la face $2$, puis une rotation de $90^\circ$ dans le sens des aiguilles d’une montre sur la face $1$, nous obtenons $c$ à partir de $b$ :

PNG - 25.6 ko

Donc $b=c$. Observons qu’une rotation d’un tiers de tour autour de l’axe qui passe par le sommet de valence zéro de $c$ établit l’equivalence entre $a$ et $c$, donc $a=b=c$. De manière analogue $a=d=e=f$. Il y a donc une seule façon de tracer les diagonales dans le cas $(2)$.

Étudions maintenant le cas $(3)$, lorsque le cube n’a qu’une seule paire de diagonales parallèles. Dans un premier temps nous avons de nouveau six cas :

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Les cubes $B$ et $D$ ont quatre sommets de valence 2 et quatre sommets de valence 1 ; et les cubes $A$, $C$, $E$ et $F$ ont deux sommets de valence 3, deux de valence 2 et deux de valence 1.

En utilisant des rotations du cube, nous obtenons $A=C=E=F$. Par contre, montrons que $B\neq D$. En partant de $D$, nous pouvons faire une rotation suivant l’axe passant par le centre de la face notée $1$ pour obtenir :

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Donc $D$ est une reflexion de $B$ et ces deux façons de tracer les diagonales ne sont pas équivalentes. Par conséquent, dans le cas $(3)$, nous avons trois façons de tracer les diagonales.

Finalement, dans le cas $(4)$ nous avons deux possibilités :

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Ces deux façons sont différentes car la première a quatre sommets de valence 3 et la seconde a quatre sommets de valence 2 et quatre de valence 1.

Par conséquent nous avons $2+1+3+2=8$ façons de tracer les diagonales du cube.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mars 2015, 3ème défi

    le 20 mars 2015 à 07:11, par André Perrenoud

    La somme de tous les nombres est 585.

    Répondre à ce message
  • Mars 2015, 3ème défi

    le 20 mars 2015 à 08:24, par zgreudz

    Oui c’est la moyenne des deux moyennes multipliée par 9.

    Répondre à ce message
  • Mars 2015, 3ème défi

    le 20 mars 2015 à 16:32, par gedspilett

    ∑ⁿᵢ ⁄ 9 = ⁿ₅

    ⁿ₅+ⁿ₆+ⁿ₇+ⁿ₈+ⁿ₉ = 80×5=400

    ⁿ₁+ⁿ₂+ⁿ₃+n₄+ⁿ₅ = 50×5=250

    ∑ⁿᵢ =650−ⁿ₅=650−∑ⁿᵢ ⁄ 9

    soit ∑ⁿᵢ (1+1⁄9) = 650

    donc ∑ⁿᵢ = 650×9⁄10 = 585

    Répondre à ce message

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