Un défi par semaine

Mars 2015, 4e défi

Le 27 mars 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (14)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 13 :

Si les cordes $[AB]$ et $[CD]$ sont perpendiculaires, quelle est la valeur de $\widehat{COB}+\widehat{AOD}$ ?

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Solution du 3ème défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $585$.

Considérons les nombres $a < b < c < d < e < f < g < h < i$. Comme le nombre du milieu $e$ vaut $\frac{a+b+c+d+e+f+g+h+i}{9}$, on obtient l’égalité

$9e-e= 8e=a+b+c+d+f+g+h+i$.

D’autre part, nous savons que $\frac{e+f+g+h+i}{5}=80$ et $\frac{a+b+c+d+e}{5}=50$, donc :

$e+f+g+h+i = 400$

$a+b+c+d+e = 250.$

En sommant ces deux relations, nous obtenons

$2e+ a+b+c+d+f+g+h+i =650.$

Ainsi, $2e=650-( a+b+c+d+f+g+h+i )=650-8e$ et $e=65$. La somme des neuf nombres est donc $8e+e=9e=9\times65=585$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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Image à la une - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

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  • Mars 2015, 4ème défi

    le 27 mars 2015 à 15:35, par Idéophage

    Bonjour,

    On peut même voir qu’il s’agit d’une généralisation de ce théorème. Si on a quatre points A, B, C, D sur un cercle de centre O, alors AOB + COD = l’angle entre les droites AC et BD (modulo pi). Si les points A et B sont confondus, alors il s’agit du théorème que vous avez cité.

    Ça a l’air très beau, mais ça reste pour ma part à organiser...

    On peut « oublier » les positions des droites et conserver juste la direction. Ça fait un graphe avec chaque point représentant une droite et chaque arc représentant de combien il faut tourner (modulo pi) pour passer d’une droite à l’autre. C’est équivalent à considérer la propriété de la somme des angles dans un triangle, mais en plus beau. Pour montrer le théorème dont vous parlez, on remarque des triangles équilatéraux, et puis voilà, ça tombe bien mais c’est un peu magique.

    Une autre manière de voir les choses est la suivante. On considère la construction généralisée (avec les deux droites AB et CD et le centre O). Si on déplace une droite sans en changer la direction, l’angle entre les deux droites ne change pas. De plus, la somme des angles AOC et BOD est constant : par symétrie, ce que l’on ajoute d’un côté de la somme est égal à ce que l’on retire de l’autre. Si on déplace les deux droites dans la même direction de telle façon que les points A et B se déplacent à même vitesse sur le cercle, par symétrie les points C et D se déplacent aussi à même vitesse. Comme on peut de plus tourner la construction autour du cercle, on peut tourner uniquement les points C et D sans changer leur écart (en faisant tourner la construction dans l’autre sens pour annuler la rotation de A et B) et l’angle entre les droites restera constant (comme la somme de AOC et BOD puisqu’aucun de ces deux angles ne change). On voit donc que ne pas modifier durant une transformation continue les angles entre les deux droites est équivalent à ne pas modifier la somme des angles AOC et BOD. On place donc le point d’intersection des deux droites sur le centre du cercle pour avoir la relation d’égalité des sommes. Il y a sûrement une manière bien meilleure de voir tout ça, qui unifie plein de trucs (invariance), etc.

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