Un défi par semaine

Mars 2015, 4e défi

Le 27 mars 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (14)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 13 :

Si les cordes $[AB]$ et $[CD]$ sont perpendiculaires, quelle est la valeur de $\widehat{COB}+\widehat{AOD}$ ?

PNG - 26.1 ko

Solution du 3ème défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $585$.

Considérons les nombres $a < b < c < d < e < f < g < h < i$. Comme le nombre du milieu $e$ vaut $\frac{a+b+c+d+e+f+g+h+i}{9}$, on obtient l’égalité

$9e-e= 8e=a+b+c+d+f+g+h+i$.

D’autre part, nous savons que $\frac{e+f+g+h+i}{5}=80$ et $\frac{a+b+c+d+e}{5}=50$, donc :

$e+f+g+h+i = 400$

$a+b+c+d+e = 250.$

En sommant ces deux relations, nous obtenons

$2e+ a+b+c+d+f+g+h+i =650.$

Ainsi, $2e=650-( a+b+c+d+f+g+h+i )=650-8e$ et $e=65$. La somme des neuf nombres est donc $8e+e=9e=9\times65=585$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Mars 2015, 4ème défi

    le 28 mars 2015 à 00:22, par Jérôme

    Personnellement, la géométrie ne me réussit pas (je n’ai pas réussi à résoudre le dernier défi, et même la solution ne me parle pas), et j’ai l’habitude de manipuler les nombres complexes, donc ça m’a paru plus simple de visualiser le problème sous cet angle (sans mauvais jeu de mots).

    J’oublie les droites et les angles droits sur mon schéma, j’ai juste un cercle unité de centre O, avec les points D, A, C, B placés sur ce cercle.

    Chacun de ces points peut s’exprimer sous la forme z = e^(j θ) avec j l’unité imaginaire : z_D = e^(j θ_D), z_A = e^(j θ_A), z_C = e^(j θ_C), z_B = e^(j θ_B).
    z_C et z_D ont la même partie imaginaire, et la partie réelle de z_C est l’opposée de celle de z_D ; bref, on voit directement que θ_C = π − θ_D.
    De même, z_B est le conjugué de z_A, donc θ_B = −θ_A.

    Les deux angles dont il est question s’expriment comme :

    AÔD = θ_A − θ_D

    BÔC = θ_B − θ_C = −θ_A + θ_D − π

    On cherche à déterminer leur somme, et on obtient :

    AÔD + BÔC = θ_A − θ_D + (−θ_A + θ_D − π) = −π

    Donc la somme des angles est π.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?