Un défi par semaine

Mars 2015, 4e défi

Le 27 mars 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (14)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 13 :

Si les cordes $[AB]$ et $[CD]$ sont perpendiculaires, quelle est la valeur de $\widehat{COB}+\widehat{AOD}$ ?

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Solution du 3ème défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $585$.

Considérons les nombres $a < b < c < d < e < f < g < h < i$. Comme le nombre du milieu $e$ vaut $\frac{a+b+c+d+e+f+g+h+i}{9}$, on obtient l’égalité

$9e-e= 8e=a+b+c+d+f+g+h+i$.

D’autre part, nous savons que $\frac{e+f+g+h+i}{5}=80$ et $\frac{a+b+c+d+e}{5}=50$, donc :

$e+f+g+h+i = 400$

$a+b+c+d+e = 250.$

En sommant ces deux relations, nous obtenons

$2e+ a+b+c+d+f+g+h+i =650.$

Ainsi, $2e=650-( a+b+c+d+f+g+h+i )=650-8e$ et $e=65$. La somme des neuf nombres est donc $8e+e=9e=9\times65=585$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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Image à la une - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

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  • Mars 2015, 4ème défi

    le 30 mars 2015 à 14:22, par Idéophage

    Voici un pavé un peu gros... En espérant ne pas avoir fait trop d’erreurs.

    Oui, en fait je me suis trompé, on ne peut pas raisonner avec le deuxième déplacement (enfin, on peut, mais j’ai été trop vite). Il préserve bien l’angle entre les droites mais en fait, tout repose justement sur l’effet de ce déplacement.

    Concernant la solution de Bernard Hanquez, je trouve ça bizarre de partir du fait que l’énoncé doit être cohérent pour démontrer quelque chose, en fait... Peut-être que l’invariance était évidente puisque de $10$ à $19$ lorsque l’on ajoute $1$ au nombre, la somme des chiffres augmente également de $1$ et qu’ensuite, à partir de $20$, on retombe sur un nombre pour lequel la propriété est déjà vérifiée après retrait de la somme des chiffres. Mais je préfère la solution avec les congruences.

    On va nommer les théorèmes. On a le théorème 4 (celui vu par les classes de 4ème) et le théorème 4g (celui généralisé).

    Pour le moment, nous avons ce qui suit.

    • * Les théorèmes 4 et 4g.
    • * La preuve de 4g que j’ai donnée.
    • * La preuve de 4g par Daniate.
    • * La preuve de 4g par M. ROUX et Jérôme.

    — 

    Je crois que l’idée peut être résumée comme ceci : si l’on considère deux points sur un cercle et qu’on les fait tourner, alors la vitesse de l’angle de la droite passant par les deux points est la moyenne des vitesses des deux points. C’est une version différentielle de ce théorème, donc on va dire 4d.

    J’ai formulé correctement le théorème après avoir rédigé la majorité de ce qui suit. En fait, j’aurais dû le faire plus tôt car ça le rend évident.

    — 

    Comme Jérôme a fait avec les nombres complexes, cela m’a fait pensé à un truc que j’avais rencontré avec des nombres complexes (bien que ne faisant nullement intervenir l’idée de similitude). Il s’agissait d’ajouter deux éléments du cercle unité. Pour simplifier, on prend $e^{iθ}+1$. Par symétrie (il s’agit d’un parallélogramme), l’argument est $\frac{\theta}{2}$ (et le module est $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$).

    On peut démontrer 4d de la même manière. On considère un cercle trigonométrique et le point $A = -1$. On considère un autre point $B$ correspondant à l’angle $\theta$, que l’on va faire tourner. Le théorème dit que si l’on fait tourner $B$ sur le cercle à vitesse constante, il tourne aussi autour de $A$ à vitesse constante (vitesse réduite de moitié). $B-A$ est de la forme $e^{i\theta}+1$ (on voit le même parallélogramme sur le dessin, mais décalé), donc on a le théorème 4d.

    Une autre manière de voir les choses. Prenons le cercle trigonométrique. Lorsqu’on le décale de $1$ vers la droite, les arguments sont divisés par $2$.

    — 

    J’ai parlé d’une autre manière de voir les choses dans mon message en réponse à celui de Daniate. Il s’agit d’oublier les positions des droites et de considérer uniquement leur direction. Tout ce qui nous intéresse est l’angle entre deux droites. Nous avons donc un système où nous pouvons parler de droites et d’angles entre deux droites. L’angle entre deux droites est un nombre modulo pi. En effet, un demi-tour suffit pour faire revenir une droite sur elle-même. Nous comptons les angles dans le sens trigonométrique. L’angle entre les droites $A$ et $B$ donne de combien il faut tourner pour passer de la droite $A$ à la droite $B$ en tournant dans le sens trigonométrique. Notons $\overrightarrow{AB}$ l’angle pour passer de $A$ à $B$. Nous avons $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$. Cela nous donne un graphe orienté dont les points sont les droites et les arêtes sont étiquetées par les angles entre les droites.

    Deux points $A$ et $B$ sont sur un cercle de centre $O$ si et seulement si le triangle $AOB$ est équilatéral en $O$, soit si et seulement si $\overrightarrow{(BO)(AB)} = \overrightarrow{(AB)(AO)}$. Modulo pi, cela veut dire que $\overrightarrow{(BO)(AO)} = 2\overrightarrow{(BO)(AB)} = 2\overrightarrow{(AB)(AO)}$.

    Pour montrer le théorème 4 avec cette idée, on considère un cercle de centre $O$ avec trois points $A$, $B$ et $C$ dessus. On veut montrer que $\overrightarrow{(BO)(BC)} = 2\overrightarrow{(AB)(AC)}$. Cela se déduit du graphe, mais ce n’est pas très joli.

    — 

    Pour montrer le théorème 4d, j’avais une première version comme suit. Ça va faire la troisième fois que je poste la même idée, mais bon. On considère un cercle avec une droite le coupant en deux points. Déplaçons la droite sans la tourner. Notons $v$ la vitesse des points d’intersections (en radians par unité de temps — elle est la même pour les deux). L’angle entre les deux points augmente (ou diminue) à une vitesse de $2v$. Si on tourne la figure autour du centre du cercle de telle sorte à laisser un point d’intersection de la droite avec le cercle stationnaire, la vitesse de rotation doit être de $v$. Ainsi, lorsque l’on fait tourner l’un des deux points à une vitesse de $2v$ autour du centre du cercle, il tourne autour de l’autre point à une vitesse de $v$.

    — 

    Après reformulation du théorème (moyenne des deux vitesses), il devient en fait évident. En effet, la direction de la droite passant par les deux points est déterminée par la moyenne des deux points (sur le cercle, les deux points étant identifiés à leurs angles) : il s’agit d’une perpendiculaire à la droite passant par le centre du cercle et le milieu des deux points.

    Tout ça pour ça.

    — 

    Peut-être qu’il serait ensuite intéressant d’unifier toutes les preuves, de regarder celles qui sont « les mêmes », les idées communes, etc.

    Ce théorème me fait aussi penser à la cardioïde. On peut, pour la dessiner, commencer par prendre un cercle. Ensuite, on place sur ce cercle deux points initialement confondus. On fait tourner le premier point à une certaine vitesse et le deuxième à une vitesse double. On considère la droite qui passe par les deux points. La droite va parcourir les tangentes d’une cardioïde. Mais je n’ai jamais étudié cette courbe.

    Bref.

    Défi : étant donné un cercle et son centre, construire à la règle seulement les points d’un autre cercle de rayon réduit de moitié (potentiellement tous, avec un nombre de secondes disponibles indénombrable).

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