Un défi par semaine

Mars 2015, 4e défi

Le 27 mars 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (14)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 13 :

Si les cordes $[AB]$ et $[CD]$ sont perpendiculaires, quelle est la valeur de $\widehat{COB}+\widehat{AOD}$ ?

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Solution du 3ème défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $585$.

Considérons les nombres $a < b < c < d < e < f < g < h < i$. Comme le nombre du milieu $e$ vaut $\frac{a+b+c+d+e+f+g+h+i}{9}$, on obtient l’égalité

$9e-e= 8e=a+b+c+d+f+g+h+i$.

D’autre part, nous savons que $\frac{e+f+g+h+i}{5}=80$ et $\frac{a+b+c+d+e}{5}=50$, donc :

$e+f+g+h+i = 400$

$a+b+c+d+e = 250.$

En sommant ces deux relations, nous obtenons

$2e+ a+b+c+d+f+g+h+i =650.$

Ainsi, $2e=650-( a+b+c+d+f+g+h+i )=650-8e$ et $e=65$. La somme des neuf nombres est donc $8e+e=9e=9\times65=585$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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Image à la une - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

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  • Mars 2015, 4ème défi

    le 31 mars 2015 à 18:27, par Idéophage

    Bon, je continue et je clarifie.

    Nous avons des droites et des demi-droites. Les directions des droites sont des nombres modulo $\pi$ et les « demi-directions » des demi-droites des nombres modulo $2\pi$ (il n’y a pas d’« origine »). Seulement, cela n’a pas de sens d’ajouter deux directions, par exemple. Regardons quelle est la structure.

    Déjà, chaque demi-direction peut être envoyée sur une direction et chaque direction correspond à deux demi-directions. On peut prendre la demi-direction opposée à une demi-direction donnée. Nous pouvons aussi prendre la direction orthogonale à une direction donnée. On peut aussi faire la différence entre deux directions (ou demi-directions) et cela nous donne un angle orienté. Il s’agit de nombres modulo $\pi$ (ou $2\pi$) que nous pouvons ajouter (ça fait le graphe) et que l’on peut ajouter aux (demi-)directions pour les faire tourner. Nous pouvons considérer les angles orientés ou non orientés entre les (demi-)directions. Si l’angle n’est pas orienté, on a un nombre modulo $\frac{\pi}{2}$ ou $\pi$.

    Ensuite, étant donnée deux demi-directions, nous pouvons prendre leur « moyenne » et cela nous donne une direction.

    Prenons deux points sur un cercle $a$ et $b$, identifiés aux demi-directions partant du centre du cercle et allant jusqu’à eux. La direction de la droite passant par $a$ et $b$ est $\frac{a+b}{2} + \frac{\pi}{2}$.

    C’est à clarifier, ce n’est pas du tout précis, mais l’idée est de pouvoir exprimer par exemple le théorème 4g comme suit :
    $(\frac{a+b}{2} + \frac{\pi}{2}) - (\frac{c+d}{2} + \frac{\pi}{2}) = \frac{(a-c) + (b-d)}{2}$ (la différence des moyennes est la moyenne des différences).

    Le théorème 4 serait $(\frac{a+b}{2} + \frac{\pi}{2}) - (\frac{a+c}{2} + \frac{\pi}{2}) = \frac{b-c}{2}$.

    Le fait que le triangle $AOB$ soit isocèle en $O$ s’exprimerait $(\frac{a+b}{2} + \frac{\pi}{2}) - \frac{a+a}{2} = \frac{b+b}{2} - (\frac{a+b}{2} + \frac{\pi}{2})$.

    Le fait que la somme des angles d’un triangle est $\pi$ serait $(b-a) + (c-b) + (a-c) = 0$ (ou bien $a + (b-a) + (c-b) + (a-c) = a$). Les trucs que l’on peut voir avec le graphe sont justement les sommes télescopiques comme ça, on voit ici que la « règle des angles du triangle » et le graphe sont équivalents.

    On pourrait essayer de voir ce qui est exprimable dans ce langage, etc.

    Cette manière de voir les choses est analogue aux repères barycentriques. La différence ici est que l’on est dans $\mathbb{R}/(2\pi\mathbb{R})$ et que donc quand on divise par un nombre entier, il n’y a pas unicité de la solution (directions, demi-directions, ...). On peut étendre la moyenne à plus de deux points, ou bien pondérer, mais je ne vois pas pour le moment ce que ça apporterait. Une manière de voir la moyenne est l’invariance sous une transformation qui prend chaque point et qui le déplace de telle sorte que la somme des déplacements est nulle, et de telle sorte que l’image de points confondus soit ce même point. Ainsi, par exemple, pour avoir la moyenne de trois demi-droites, si elles sont toutes confondues en $x$, la moyenne est $x$. Mais si on prend deux des droites, qu’on les déplace d’un tiers de tour vers un côté et que l’on déplace la droite restante de deux tiers de tours vers l’autre côté, les droites vont se retrouver confondues en un point. On peut encore réitérer la transformation. Au final, on va avoir trois points où les droites sont confondues. En fait, une rotation de $-2\frac{2\pi}{3}$ est la même chose qu’une rotation de $\frac{2\pi}{3}$ (on est modulo $2\pi$). Du coup, on voit en fait que faire tourner les trois droites de $\frac{2\pi}{3}$ ne doit pas faire bouger la moyenne. Cependant, cela est moins dans l’idée de « compensation » de la moyenne puisqu’on perd la transformation continue d’une situation à l’autre (sans changer la moyenne). En revanche, cela fait voir que l’on est modulo $\frac{2\pi}{3}$ : $3 \times \frac{1}{3} = 1$.

    Pour trouver la moyenne de trois demi-droites, on peut commencer par prendre la moyenne de deux droites puis prendre la moyenne pondérée. Peut-être que cela devient plus pertinent avec plus que deux dimensions.

    Dans ma première idée de preuve, quand on déplace la droite sans la faire tourner, cela constitue les transformations qui laissent invariante la direction de la droite. Bon, c’est un truisme mais ce que je veux dire, c’est que c’est la même chose qu’avec la moyenne des points : on a des transformations qui laissent cette moyenne invariante (noyau) et des cas particuliers où elle est facile à avoir (points confondus).

    Ça reste à développer.

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