Un défi par semaine

Mars 2016, 1er défi

Le 4 mars 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 10 :

On lance $5$ fléchettes sur une cible ronde de rayon $25\sqrt{2}$ cm. Si les $5$ fléchettes atteignent la cible, est-il vrai qu’au moins deux d’entre elles se trouvent à une distance inférieure à $50$ cm l’une de l’autre ?

Solution du 4e défi de Février :

Enoncé

La réponse est $22$ nombres.

Un nombre à $6$ chiffres qui se termine par $164$ peut s’écrire sous la forme $10^3 n+164$, où $n$ est un nombre à trois chiffres. Puisque le nombre est également un multiple de $164$, on a $10^3n+164=164k$, soit $10^3n=164(k-1)$. La décomposition en facteurs premiers de $164$ est $2^2\times 41$, et $10^3$ est divisible par $2^2$. Par conséquent, le nombre $n$ à trois chiffres doit être un multiple de $41$, c’est-à-dire $n=41t$, où $3\leq t \leq 24$. Ainsi, il existe $24-3+1=22$ nombres à 6 chiffres, multiples de $164$ et se terminant par $164$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Mars 2016, 1er défi

    le 4 mars 2016 à 16:14, par Laurent

    Au mieux sur cette cible, il est possible de disposer 4 points à 50 cm mini les uns des autres : ce sont les 4 sommets d’un carré inscrit sur le cercle. Un 5ème point sur cette cible sera à moins de 50 cm d’un des sommets.

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  • Mars 2016, 1er défi

    le 5 mars 2016 à 22:40, par mesmaker

    Je suis d’accord avec le commentaire précédent mais il manque la preuve que le carré inscrit sur le cercle soit l’unique solution pour placer les quatre points à une distance de 50 cm.

    Je vais tenter une esquise de preuve pour montrer qu’il est impossible que cinq points soient distants de 50 cm dans un disque de $25\sqrt{2}$ cm.

    1) Lorsque l’on tente de placer le premier des cinq points alors autour de lui se dessine un disque de rayon 50 cm où il est interdit de mettre un autre point. Donc le point ne peut pas être au centre sinon tout le cercle de rayon $25\sqrt{2}$ devient interdit. Il faut donc que le point soit mis proche du périmètre du cercle créant une surface ayant la forme d’une lunule pour laisser de la place pour mettre les quatre autres points. Le mieux étant de mettre ce premier point sur le cercle lui même cela laisse une surface maximal pour placer les autres points.

    2) Le second point doit à son tour intuitivement si possible laisser le plus de surface pour mettre les trois derniers points. Il faudra donc le mettre au point de contact entre le cercle de base et celui de rayon 50 cm.

    3) En recommençant avec les autres points, on se rend compte que pour maximiser les distances entre les points il faut avoir un polygone inscrit sur le cercle. Avec quatre points cela est possible en prenant un carré, mais avec cinq cela est impossible, il y aura obligatoirement deux points sur le cercle distant de moins de 50 cm.

    Donc il est certain que deux points sur les cinq auront une distance de moins de 50 cm. Je ne suis pas satisfait de cette preuve trop intuitive mais je ne trouve pas vraiment mieux pour l’instant.

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    • Mars 2016, 1er défi

      le 6 mars 2016 à 14:11, par Laurent

      J’ai raisonné ainsi.
      Prenons 3 points et k le diamètre du problème.
      Si on souhaite placer les 3 points à la distance minimale 50cm