Un défi par semaine

Mars 2016, 4e défi

Le 25 mars 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 13 :

Sur un tableau sont inscrits $16$ entiers positifs consécutifs. Olga calcule leur produit et Ivan leur somme. Est-il possible que les deux nombres aient leurs trois derniers chiffres en commun ?

Solution du 3e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $18\sqrt{6}\, \mbox{cm}^2$.

Le quadrilatère $ABCD$ est un losange car $AB=BC=CD=DA$.

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Pour calculer l’aire d’un losange il faut calculer la longueur de ses diagonales. La diagonale $BD$ est la diagonale d’un carré parallèle à deux faces du cube et qui le coupe en son milieu. Par conséquent $BD$ est la diagonale d’un carré de côté $6$ cm, et d’après le théorème de Pythagore elle mesure $\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$ cm.

La diagonale $AC$ est est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés mesurent $6$ cm et $6\sqrt{2}$ cm, donc $AC$ mesure $\sqrt{6^2+6^2\times 2}=6\sqrt{3}$ cm. Par conséquent l’aire du losange $ABCD$ est égale à

$\frac{BD\times AC}{2}=\frac{36\sqrt{6}}{2}=18\sqrt{6}\, \mbox{cm}^2.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Mars 2016, 4e défi

    le 25 mars à 07:07, par Lina

    Oui c’est possible, il suffit de partir de 55, ou de tout nombre de la forme 125n+55 .

    Répondre à ce message
    • Mars 2016, 4e défi

      le 25 mars à 09:09, par Al_louarn

      Je confirme.

      Si $N$ est le premier nombre de la suite alors la somme est $N + (N+1) + ... + (N+15)=16N+(0+1+2+...+13+14+15)=16N+8*15=8*(2N+15)$.
      Dans une suite de $16$ nombres consécutifs il y a au moins $8$ multiples de $2$ et $3$ multiples de $5$ donc le produit des $16$ nombres est multiple de $1000$ et se termine par $000$.
      Il faut donc que $2N+15$ soit multiple de $125$. En posant $2N+15=125M$, on voit que $N$ est multiple de $5$ et $M$ est impair. Donc avec $N=5n$ et $M=2m+1$ l’équation se ramène à $2n+3=25*(2m+1)$, d’où $n=25m+11$ et finalement $N=125m+55$.

      Répondre à ce message

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