Mars 2016, 4e défi

Le 25 mars 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 13 :

Sur un tableau sont inscrits $16$ entiers positifs consécutifs. Olga calcule leur produit et Ivan leur somme. Est-il possible que les deux nombres aient leurs trois derniers chiffres en commun ?

Solution du 3e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $18\sqrt{6}\, \mbox{cm}^2$.

Le quadrilatère $ABCD$ est un losange car $AB=BC=CD=DA$.

Pour calculer l’aire d’un losange il faut calculer la longueur de ses diagonales. La diagonale $BD$ est la diagonale d’un carré parallèle à deux faces du cube et qui le coupe en son milieu. Par conséquent $BD$ est la diagonale d’un carré de côté $6$ cm, et d’après le théorème de Pythagore elle mesure $\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$ cm.

La diagonale $AC$ est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés mesurent $6$ cm et $6\sqrt{2}$ cm, donc $AC$ mesure $\sqrt{6^2+6^2\times 2}=6\sqrt{3}$ cm. Par conséquent l’aire du losange $ABCD$ est égale à

$\frac{BD\times AC}{2}=\frac{36\sqrt{6}}{2}=18\sqrt{6}\, \mbox{cm}^2.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Mars 2016, 4e défi

le 25 mars 2016 à 07:07, par Lina

Oui c’est possible, il suffit de partir de 55, ou de tout nombre de la forme 125n+55 .
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Mars 2016, 4e défi

le 25 mars 2016 à 09:09, par Al_louarn

Je confirme.

Si $N$ est le premier nombre de la suite alors la somme est $N + (N+1) + ... + (N+15)=16N+(0+1+2+...+13+14+15)=16N+8*15=8*(2N+15)$.
Dans une suite de $16$ nombres consécutifs il y a au moins $8$ multiples de $2$ et $3$ multiples de $5$ donc le produit des $16$ nombres est multiple de $1000$ et se termine par $000$.
Il faut donc que $2N+15$ soit multiple de $125$. En posant $2N+15=125M$, on voit que $N$ est multiple de $5$ et $M$ est impair. Donc avec $N=5n$ et $M=2m+1$ l’équation se ramène à $2n+3=25*(2m+1)$, d’où $n=25m+11$ et finalement $N=125m+55$.
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Ana Rechtman

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Mars 2016, 4e défi

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