Un défi par semaine

Mars 2017, 2e défi

Le 10 mars 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 10 :

Dix personnes sont assises autour d’une table. Chacun pense à un nombre et le dit à ses deux voisins. Puis chacun dit à voix haute la moyenne des nombres de ses deux voisins. Si les nombres de $1$ à $10$, dans cet ordre, ont été annoncés, quel est le nombre auquel a pensé la personne qui a dit $6$ ?

Solution du 1er défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $1$, $1$, $2$ et $0$.

On sait que dans la dernière boîte, il n’y a pas $1$ boule noire, et comme il y a moins de boules noires que dans la première boîte, on en conclut que dans la dernière boîte, il y a $0$ boule noire et $2$ blanches. Par conséquent, dans la première boîte, deux cas sont possibles : $1$ boule noire et $1$ blanche ou $2$ noires. Comme le nombre écrit sur la boîte est faux, il y a donc $1$ boule noire et $1$ blanche.

Il reste donc $3$ boules noires et $1$ blanche à répartir dans les $2$ boîtes centrales. Une des boîtes centrales doit donc contenir exactement $1$ boule noire. Ce n’est pas la troisième (de gauche à droite) car tous les nombres sont faux. C’est donc la deuxième qui contient exactement une boule noire. Donc les boîtes contiennent $1$, $1$, $2$ et $0$ boules noires.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JOSEF P. WILLEMS/FANCY / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

  • Mars 2017, 2e défi

    le 10 mars à 14:05, par Idéophage

    La matrice en jeu est inversible si et seulement si le nombre de personnes n’est pas multiple de 4. La justification est que l’on commence par prendre $(0,\dots,0,1/2,0,1/2,0,\dots,0)$, avec le premier $1/2$ qui correspond à la valeur qu’on veut retrouver. On ajoute ensuite $(-1/2,0,-1/2)$, en faisant coïncider le premier $-1/2$ avec le deuxième $1/2$, puis on ajoute $(1/2,0,1/2)$, et ainsi de suite. Si lorsqu’on revient au départ (le nombre de personnes est divisible par 4), on trouve la combinaison linéaire nulle, alors la matrice n’est pas inversible. Si on trouve 1, alors on a réussi à inverser la matrice. Ici, 10 n’est pas divisible par 4, donc la méthode marche. On trouve $7 - 9 + 1 - 3 + 5 = 1$.

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  • Mars 2017, 2e défi

    le 10 mars à 18:39, par Bernard Hanquez

    Considérons la personne qui à annoncé 1 comme moyenne de ses deux voisins. On en déduit qu’ils on tous les deux pensé à 1.

    Considérons maintenant la personne qui a annoncé 3 comme moyenne de ses voisins. On sait que la personne située entre elle et celle qui a annoncé 1 avait pensé à 1. Donc pour obtenir une moyenne de 3 il faut que son autre voisin ait pensé à 5.

    De même pour la personne qui a annoncé 5 comme moyenne de ses voisins. On sait que la personne située entre elle et celle qui a annoncé 3 avait pensé à 5. Donc pour obtenir une moyenne de 5 il faut que son autre voisin ait pensé à 5. Et il se trouve que cet autre voisin est celui qui a annoncé 6 comme moyenne.

    La réponse à la question posée est donc 5.

    nota : j’ai supposé que les dix personnes ont pensé à des nombres entiers

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    • Mars 2017, 2e défi

      le 10 mars à 19:42, par Idéophage

      Si on poursuit le raisonnement, on trouve que la personne qui a annoncé 8 avait pensé à 9, et que celle qui a annoncé 10 avait pensé à 1. Contradiction puisqu’on avait supposé au départ qu’elle avait annoncé 1. Il n’y a qu’une seule configuration possible qui est la suivante (ce sont les nombres auxquels ont pensé les personnes, dans l’ordre en commençant par celle ayant dit 1 à haute voix).

      6, -3, -2, 9, 10, 1, 2, 13, 14, 5

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      • Mars 2017, 2e défi

        le 10 mars à 21:54, par Idéophage

        Je voulais dire « et que celle qui a annoncé 10 avait pensé à 9. Contradiction puisqu’on avait supposé au départ qu’elle avait pensé à 1. ».

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        • Mars 2017, 2e défi

          le 11 mars à 09:49, par Bernard Hanquez

          Vous avez raison, il fallait poursuivre le raisonnement.

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          • Mars 2017, 2e défi

            le 13 mars à 22:08, par Idéophage

            Mais on peut encore poursuivre encore le raisonnement. On trouve donc que la personne 10 a pensé à 9, puis que la personne 2 aurait donc pensé à -7, et ainsi de suite : 4→13, 6→-3, 8→17. On retombe ensuite sur 10 qui aurait pensé à 1. On trouve deux résultats (contradictoires) pour chaque personne (une sur deux plutôt). Si on moyenne ces deux résultats, on trouve donc un point fixe, qui est notre solution. La réponse, 1, est bien la moyenne de 5 et -3.

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      • Mars 2017, 2e défi

        le 11 mars à 21:04, par LALANNE

        On rappelle la question posée :
        quel est le nombre auquel a pensé la personne qui a dit 6  ?
        La réponse est 1 .

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    • Mars 2017, 2e défi

      le 12 mars à 12:10, par ROUX

      Dans un premier temps, j’avais comme vous, pensé à des entiers naturels.
      Celui qui avait énoncé 1 avait entendu 0 et 2.
      J’avais ensuite eu à choisir un sens : celui qui avait dit 3 et ayant entendu 0 avait donc aussi entendu 6 ; celui qui avait dit 5 avait entendu aussi 4 ; celui qui avait dit 7 avait donc entendu aussi 10 et, ainsi, celui qui devait dire 9 avait entendu 2 et 10 : contradiction car il ne pouvait annoncer qu’un 9 à la condition unique qu’il le retournât en un splendide 6.
      En prenant un autre sens, j’avais déterminé que celui qui disait 9 et qui avait déjà entendu 0 devait avoir entendu 18 et que donc, celui qui disait 7 devait avoir entendu... -4 pour faire 18-4=14 et annoncer une moyenne à 7.
      Alors, j’ai compris que je pouvais avoir droit aux entiers relatifs et j’ai posé les équations  ;-).
      Je suis quand même profondément un physicien expérimentateur :-).

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  • Mars 2017, 2e défi

    le 12 mars à 10:50, par ROUX

    Je trace un cercle puis je place les 10 nombres de 1 à 10 dans cet ordre dans le sens direct au bout de 10 rayons de ce cercle.
    Ensuite, je place à l’intérieur du cercle les 10 lettres de a à j au-dessus de chacun des 10 nombres : ces lettres sont les nombres auxquels les personnes pensent.
    La personne qui dit 6 pense f.
    f n’intervient que dans les résultats des personnes qui énoncent des résultats impairs : h+f=10 (car 10=5*2) ou f+d=14 (car 14=7*2). Mais, pour une raison chronologique, je ne suis pas parti de l’une des deux…
    Je suis parti de j+b=2 (car 2=1*2) qui donne b=j-2.
    Ensuite, j’ai traité b+d=18 qui m’a donné avec la relation précédente d=16+j.
    J’ai ensuite obtenu f=-2-j puis h=12+j.
    La dernière relation a été h+j=6 qui à l’aide de la relation précédente m’a donné j=-3.
    Et donc f=1.
    La personne qui dit 6 pense 1.

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