Un défi par semaine

Mars 2017, 3e défi

Le 17 mars 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 11 :
Déterminer la somme de tous les nombres entiers positifs $x$ vérifiant la propriété suivante : $x$ et $x+99$ sont les carrés de nombres entiers positifs.

Solution du 2e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est 1.

Soient $x_1$, $x_2$, $\ldots,$ $x_{10}$ les nombres auxquels ont pensé les personnes qui ont dit $1$, $2$, $\ldots,$ $10$, dans cet ordre, c’est-à-dire que $x_1$ est le nombre auquel a pensé la personne qui a dit $1$, $x_2$ le nombre auquel a pensé la personne qui a dit $2$, et ainsi de suite.

On peut écrire les équations :

\[ x_1+x_3=4,\]

\[x_2+x_4=6,\]

\[x_3+x_5=8,\]

\[x_4+x_6= 10,\]

\[x_5+x_7=12,\]

\[x_6+x_8=14,\]

\[x_7+x_9=16,\]

\[x_8+x_{10}=18,\]

\[x_9+x_1=20,\]

\[x_{10}+x_2=2.\]

Si on somme les équations avec des indices paires, on obtient :

\[2(x_2 +x_4 + x_6 +x_8+x_{10} ) = 50\]

\[ 6 +x_6 +18 = 25\]

\[x_6+24 = 25.\]

On obtient donc $x_6=1$. De manière analogue, on peut obtenir tous les autres nombres. La personne qui a dit $6$ pensait au nombre $1$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JOSEF P. WILLEMS/FANCY / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

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  • Mars 2017, 3e défi

    le 13 mars à 23:18, par Florian

    Bonsoir,

    $x = a^2$ et $x + 99 = b^2$, d’où $99 = b^2 - a^2 = (a-b)(a+b)$. Connaissant les diviseurs de $99$, on a donc trois possibilités :

    Soit $a-b = 1$ et $a+b = 99$, d’où $a=49$ et $b=50$. Dans ce cas, $x = 49^2 = 2401$. On a bien $x+99 = 2500 = b^2$

    Soit $a-b = 3$ et $a+b = 33$, d’où $a=15$ et $b=18$. Dans ce cas, $x = 15^2 = 225$. On a bien $x+99 = 324 = b^2$

    Soit $a-b = 9$ et $a+b = 11$, d’où $a=1$ et $b=10$. Dans ce cas, $x = 1^2 = 1$. On a bien $x + 99 = 100 = b^2$

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