Un défi par semaine

Mars 2017, 5e défi

Le 31 mars 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 13 :

$15$ personnes sont assises autour d’une table ronde. Chaque femme est assise entre un homme et une femme alors que chaque homme est assis entre deux hommes ou entre deux femmes. Sachant qu’il y a au moins une femme autour de la table, combien y a-t-il de femmes ?

Solution du 4e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est

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La somme des nombres de $1$ à $8$ est $1+2+3+4+5+6+7+8=\frac{8\times 9}{2}=36$. Considérons $2$ sommets opposés de l’octaèdre. L’ensemble des $4$ triangles comportant le premier sommet est disjoint de l’ensemble des $4$ triangles comportant le second. Par conséquent, on doit avoir que la somme correspondant à chaque sommet est égale à $\frac{36}{2}=18$.

Notons $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$ les nombres qu’il faut écrire dans les triangles, comme indiqué sur le patron suivant. Considérons également les sommets $x$ et $y$.

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En considérant la somme correspondant au sommet $x$, on obtient $2+b+4+c=18$, donc $b+c=12$. De même, pour le sommet $y$, on obtient $b+4+e+8=18$, donc $b+e=6$. Comme tous les nombres sont distincts, on a nécessairement $b=5$, $c=7$ et $e=1$. En plaçant ces nombres dans le patron, on conclut que $d=6$ et $a=3$. Par conséquent, la solution est la figure suivante.

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Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2017, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JOSEF P. WILLEMS/FANCY / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

  • Mars 2017, 5e défi

    le 31 mars à 08:43, par Al_louarn

    Partons d’une femme : $F$
    Il y a forcément une femme à côté d’elle, donc nous avons $2$ femmes côte à côte : $FF$
    Il y a forcément un homme à côté de la femme de droite : $FFH$
    Cet homme est forcément entre $2$ femmes : $FFHF$
    Etc.
    De proche en proche on obtient $5$ fois la suite $FFH$.
    Il y a donc $5 \times 2 = 10$ femmes.

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  • Mars 2017, 5e défi

    le 1er avril à 14:31, par Niak

    Une façon assez générique d’aborder le problème. Construisons un automate dont les états sont notés $\{FF,FH,HF,HH\}$ et dont les transitions correspondent exactement aux quatre motifs autorisés :
    $FF \overset{H}{\longrightarrow} FH \overset{F}{\longrightarrow} HF \overset{F}{\longrightarrow} FF$ (cycle de taille 3)
    $HH \overset{H}{\longrightarrow} HH$ (cycle de taille 1)
    Construire une table circulaire valide de taille $n$, c’est exactement lire un cycle de taille $n$ sur l’automate. On a donc, pour tout $n$, la solution $H^n$ et, pour $n$ multiple de $3$, la solution (à rotation près) $(HFF)^{n/3}$ contenant exactement $2n/3$ $F$.

    Répondre à ce message

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