Un défi par semaine

Mars 2018, 2e défi

Le 9 mars 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 10 :

Un club a trois disciplines : athlétisme, natation et cyclisme. Chaque mois, les membres paient $49$ €, pour une activité et, s’ils en pratiquent deux, ils paient $40$ €, pour chacune d’elles. Les recettes mensuelles ont été de $1\,198$ €, en athlétisme, $1\,269$ €, en natation et $1\,572$ €, en cyclisme. S’il y a $78$ membres et que personne ne pratique trois disciplines, combien de membres sont inscrits dans chaque discipline ?

Solution du 1er défi de mars :

Énoncé.

La réponse est : $9$.

Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ les quatre parties.
On a $a+ b+ c+ d = 48$ et
\[ \frac{a}{3} = 3b= c+3=d-3. \]
On obtient
\[\begin{eqnarray*} a & = & 9b\\ c & = & 3b-3\\ d & = & 3b+3. \end{eqnarray*}\]

En reportant dans la première équation, on obtient $9b+b+3b-3+3b+3=48$,
c’est-à-dire $16 b= 48$, d’où $b=3$.

Donc $a=27$, $c=3\times 3-3=6$ et $d=3\times 3+3=12$ et le nombre obtenu est $\frac{a}{3}=3b=c+3=d-3=9$.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2018, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Mars 2018, 2e défi

    le 9 mars à 10:00, par Daniate

    Un peu d’arithmétique.

    Si tous faisaient 1 discipline le club toucherait 3822€. Une discipline de plus rapporte 31 €. Pour arriver au 4039€ il faut donc 7 participants à deux disciplines. Les 3 disciplines se partagent donc 85 participants. L’athlétisme a entre (1198-7*40)/49 et 1198/49 pratiquants à 49€ mais ce nombre se termine par 2 seul moyen d’avoir le 8 de 1198, c’est donc 22 et on obtient rapidement 3 pratiquants avec une discipline de plus soit 25 pour l’athlétisme. L’écart de 71€ avec la natation ne peut s’obtenir qu’avec 3x40-1x49 soit 2 pratiquants de plus : 27. Il reste 85-25-27=33 pratiquants le cyclisme.

    Répondre à ce message
  • Mars 2018, 2e défi

    le 9 mars à 10:00, par mesmaker

    A = Athlétisme
    C = Cyclisme
    N = Natation

    AN = 1 personne
    AC = 2
    NC = 4
    A = 22
    C = 21
    N = 28

    Donc 25 personnes font A, 27 font C et 33 font N.

    Pour trouver cela, j’ai résolu deux équations du premier degré à deux inconnues. Cela réduit grandement les possibilités des résultats et en supposant qu’ils étaient entiers positifs j’ai tâtonné un peu pour trouver la solution unique finale.

    Répondre à ce message
  • Mars 2018, 2e défi

    le 9 mars à 14:44, par Daniate

    Quelques remarque sur mon premier message. Aucun tâtonnement ce qui montre pour une fois l’ avantage de l’arithmétique sur l’algèbre. Les calculs de l’athlétisme se font de tête en remplaçant 1198 par 1200 et 49 par 50 (ordre de grandeur chères aux non-matheux) soit 922/50>16 et 1200/50<25. L’autre doute est sur l’évaluation des 71 € qui conduit à une équation diophantienne : 71=49n+40p dont la solution en p est 3+49k, k étant un entier relatif quelconque. Mais p étant compris entre -7 et 7 il vient k=0 et donc la solution que je propose.

    Répondre à ce message
    • Mars 2018, 2e défi

      le 10 mars à 08:31, par ROUX

      A partir du nombre de 7 participants à deux activités on peut reprendre votre calcul en ordre de grandeur (👍👍👍) et utiliser l’argument du chiffre des unités à chaque fois.
      1572-7*40=1580-280=1300 et 1300/50=26.
      1572/50=1575/50=31,5.
      Chiffre des unités donc 28 à 49.
      28*49=28*(50-1)=1372.
      1572-1372=200 donc 5 à 40.

      Sympa’.

      Répondre à ce message
      • Mars 2018, 2e défi

        le 10 mars à 10:52, par Daniate

        Bonjour

        J’avais bien remarqué ce calcul répétitif mais mon objectif était justement de proposer un raisonnement différent pour chacune des disciplines.

        Répondre à ce message
  • Mars 2018, 2e défi

    le 9 mars à 17:07, par Niak

    Soient $a$ et les $b$ les nombres d’athlètes payant $40$ et $49$€ respectivement. $40a+49b=1198$ et donc $9b\equiv38\bmod{40}$. Or $9$ est premier avec $40$, donc inversible multiplicativement modulo $40$ et en l’occurrence d’inverse lui-même ($9^2=81\equiv1\bmod{40}$), d’où $b\equiv9\cdot38\equiv22\bmod{40}$. Comme $0\leq b\leq\left\lfloor\frac{1198}{49}\right\rfloor=24<40$ on en déduit $b=22$ puis aisément $a=3$. Il y a donc $a+b=25$ athlètes.

    De même, en natation, on aura $b'\equiv9\cdot1269\equiv21\bmod{40}$ (et $b'\leq25$), d’où $b'=21$, $a'=6$ et $27$ nageurs.

    Enfin, $b''\equiv9\cdot1572\equiv28\bmod{40}$ (et $b''\leq33$), d’où $b''=28$, $a''=5$ et $33$ cyclistes.

    Répondre à ce message
  • Mars 2018, 2e défi

    le 9 mars à 19:58, par ROUX

    A*49 + A(N ou C)*40=1198.
    Le nombre des unités de A ne peut être que 2 donc, en comprenant que le nombre des dizaines de A ne peut que être 2, il vient que A(N ou C) ne peut qu’être égal à 3.
    2*10*49+2*49+3*40=1198.

    On refait le même raisonnement et on trouve les résultats précédents.

    Le nombre de 78 membres n’est pas utilisé.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM