Un défi par semaine

Mars 2018, 4e défi

Le 23 mars 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 12 :

Combien vaut
$(1\times 1!)+(2\times 2!)+\cdots+(n\times n!)$ ?

($n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times 1$.)

Solution du 3e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est
$a+b=5+6=11$.

Comme $342$ est divisible par $9$, le nombre $100\,900\,b\,02$
doit aussi être divisible par $9$.

Ainsi, la somme de ses chiffres $1+9+b+2=12+b$ doit être divisible par $9$.

Comme $b$ est un chiffre, l’unique possibilité est $b=6$.

Toutefois, $100\,900\,602$ est divisible par $11$ vu que $(1+0+0+6+2)-(0+9+0+0)=0$, mais $342$ ne l’est pas, donc $29a\,031$ doit être divisible par $11$.

Autrement dit, $(2+a+3)-(9+0+1)=a-5$ doit être divisible par $11$. Comme $a$ est un chiffre, l’unique possibilité est $a=5$. Par conséquent, $a+b=5+6=11$.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Mars 2018, 4e défi

    le 21 mars 2018 à 16:19, par Lhooq

    Ah, je crois que j’ai compris ce qui se passe. Au moment de la rédaction du défi, Ana parfois clique sur publier au lieu de prévisualiser ce qui fait que c’est la deuxième fois que le défi sort avec quelques jours d’avance et aujourd’hui nous avons même la solution du précédent défi qui n’est pas bien encapsulée dans le bloc replié. :D

    Répondre à ce message

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